Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
Lebesgueův integrál
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 4: | Řádka 4: | ||
== Definice == | == Definice == | ||
| - | Nechť <big>\((X, \mathcal{M}, \mu)</ | + | Nechť <big>\((X, \mathcal{M}, \mu)\)</big> je prostor s [[míra|mírou]], <big>\(M \in \mathcal{M}\)</big>. Pro [[měřitelná funkce|měřitelnou]] nezápornou funkci <big>\(f:M \rightarrow \overline{\mathbb{R}}\)</big> definujeme Lebesgueův integrál vztahem |
<big>\( \int\limits_M f \mbox{d}\mu = \sup \left\{ \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j), (\forall i \neq j) A_i \cap A_j = \emptyset, M = \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}A_j, (\forall x \in A_j) \alpha_j\leq f(x) \right\} | <big>\( \int\limits_M f \mbox{d}\mu = \sup \left\{ \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j), (\forall i \neq j) A_i \cap A_j = \emptyset, M = \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}A_j, (\forall x \in A_j) \alpha_j\leq f(x) \right\} | ||
| - | </ | + | \)</big> |
Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme | Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme | ||
| Řádka 13: | Řádka 13: | ||
<big>\( | <big>\( | ||
\int\limits_M f \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu-\int\limits_M f^- \mbox{d}\mu | \int\limits_M f \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu-\int\limits_M f^- \mbox{d}\mu | ||
| - | </ | + | \)</big> |
| - | (má-li výraz smysl), kde <big>\(f^+ = \max\left\{ 0, f\right\}</ | + | (má-li výraz smysl), kde <big>\(f^+ = \max\left\{ 0, f\right\}\)</big> je kladná část funkce <big>\(f\)</big> a <big>\(f^- = \max\{ 0, -f\}\)</big> je záporná část <big>\(f\)</big>. |
== Vlastnosti == | == Vlastnosti == | ||
* Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál, obecná měřitelná funkce <big>\(f</matH> integrál nemá tehdy, když | * Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál, obecná měřitelná funkce <big>\(f</matH> integrál nemá tehdy, když | ||
| - | <big>\( \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^- \mbox{d}\mu = +\infty </ | + | <big>\( \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^- \mbox{d}\mu = +\infty \)</big> |
| - | * Pro [[jednoduchá funkce|jednoduchou funkci]] <big>\(s = \sum\alpha_j \chi_{A_j}</ | + | * Pro [[jednoduchá funkce|jednoduchou funkci]] <big>\(s = \sum\alpha_j \chi_{A_j}\)</big> je možné napsat definiční vztah jako |
| - | <big>\(\int\limits_M s \mbox{d}\mu = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j)</ | + | <big>\(\int\limits_M s \mbox{d}\mu = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j)\)</big> |
Jednoduchou funkci je však možné vyjádřit pomocí různých rozkladů. Z takové definice tedy není zřejmé, že hodnota integrálu jednoduché funkce nezávisí na rozkladu. | Jednoduchou funkci je však možné vyjádřit pomocí různých rozkladů. Z takové definice tedy není zřejmé, že hodnota integrálu jednoduché funkce nezávisí na rozkladu. | ||
| - | == <big>\(L^p</ | + | == <big>\(L^p\)</big> prostory == |
| - | Pomocí Lebesgueova integrálu definujeme <big>\(\mathcal{L}^p</ | + | Pomocí Lebesgueova integrálu definujeme <big>\(\mathcal{L}^p\)</big> prostory funkcí |
| - | <big>\(\mathcal{L}^p = \left\{ f \mbox{ meritelna}, \int_X |f|^p \mbox{d}\mu < \infty \right\}</ | + | <big>\(\mathcal{L}^p = \left\{ f \mbox{ meritelna}, \int_X |f|^p \mbox{d}\mu < \infty \right\}\)</big> |
a zavedeme množinovou funkci | a zavedeme množinovou funkci | ||
| - | <big>\(\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p \mbox{d}\mu \right)^{1 \over p}</ | + | <big>\(\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p \mbox{d}\mu \right)^{1 \over p}\)</big> |
| - | Snadno se ukáže, že <big>\(\|f\|_p</ | + | Snadno se ukáže, že <big>\(\|f\|_p\)</big> splňuje všechny vlastnosti [[norma|normy]] kromě jedné: <big>\(\int_X |f|^p \mbox{d}\mu = 0\)</big> neznamená <big>\(f=0\)</big> všude v <big>\(X\)</big>, ale pouze skoro všude v <big>\(X\)</big>. Tvrzení tedy neplatí na množině míry 0. |
| - | Zavádí se proto prostory <big>\(L^p</ | + | Zavádí se proto prostory <big>\(L^p\)</big> tříd ekvivalencí funkcí, které se liší na množině míry 0. V takovém prostoru je již <big>\(\|f\|_p\)</big> normou. |
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52
Lebesgueův integrál někdy se můžeme setkat s názvem L-integrál označuje v matematice definici určitého integrálu, založenou na teorii míry. Lebesgueův integrál je obecnější než integrál Riemannův, což v praxi znamená, že pokud existuje Riemannův integrál, tak existuje také Lebesgueův integrál, přičemž hodnoty obou integrálů jsou shodné. Pokud Riemannův integrál neexistuje, může existovat integrál Lebesgueův. Opačné tvrzení však neplatí (např. Dirichletova funkce, jejíž funkční hodnota je 1, pokud je argument racionální číslo, a je rovna 0, pokud je argumentem iracionální číslo, má Lebesgueův integrál, ale nemá Riemannův integrál). Lebesgueův integrál je pojmenován po francouzském matematikovi Henri Lebesgueovi .
Definice
Nechť \((X, \mathcal{M}, \mu)\) je prostor s mírou, \(M \in \mathcal{M}\). Pro měřitelnou nezápornou funkci \(f:M \rightarrow \overline{\mathbb{R}}\) definujeme Lebesgueův integrál vztahem
\( \int\limits_M f \mbox{d}\mu = \sup \left\{ \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j), (\forall i \neq j) A_i \cap A_j = \emptyset, M = \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}A_j, (\forall x \in A_j) \alpha_j\leq f(x) \right\} \)
Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme
\( \int\limits_M f \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu-\int\limits_M f^- \mbox{d}\mu \)
(má-li výraz smysl), kde \(f^+ = \max\left\{ 0, f\right\}\) je kladná část funkce \(f\) a \(f^- = \max\{ 0, -f\}\) je záporná část \(f\).
Vlastnosti
- Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál, obecná měřitelná funkce \(f</matH> integrál nemá tehdy, když
\( \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^- \mbox{d}\mu = +\infty \)
- Pro jednoduchou funkci \(s = \sum\alpha_j \chi_{A_j}\) je možné napsat definiční vztah jako
\(\int\limits_M s \mbox{d}\mu = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j)\)
Jednoduchou funkci je však možné vyjádřit pomocí různých rozkladů. Z takové definice tedy není zřejmé, že hodnota integrálu jednoduché funkce nezávisí na rozkladu.
\(L^p\) prostory
Pomocí Lebesgueova integrálu definujeme \(\mathcal{L}^p\) prostory funkcí
\(\mathcal{L}^p = \left\{ f \mbox{ meritelna}, \int_X |f|^p \mbox{d}\mu < \infty \right\}\)
a zavedeme množinovou funkci
\(\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p \mbox{d}\mu \right)^{1 \over p}\)
Snadno se ukáže, že \(\|f\|_p\) splňuje všechny vlastnosti normy kromě jedné: \(\int_X |f|^p \mbox{d}\mu = 0\) neznamená \(f=0\) všude v \(X\), ale pouze skoro všude v \(X\). Tvrzení tedy neplatí na množině míry 0.
Zavádí se proto prostory \(L^p\) tříd ekvivalencí funkcí, které se liší na množině míry 0. V takovém prostoru je již \(\|f\|_p\) normou.
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |