Aproximace

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Aproximace (z lat. ad a proximus, blízký) znamená přiblížení; odtud přídavné jméno aproximativní, přibližný.

V matematice a geometrii

V matematice znamená aproximace přibližnou hodnotu čísla nebo jednu z možných hodnot čísla, nebo také nahrazení čísla vhodným číslem blízkým. V geometrii se jedná o proložení několika bodů křivkou, přičemž není nutné, aby aproximační křivka přesně procházela zadanými body. (Na rozdíl od interpolace.)

Důvody aproximace

• příliš náročný výpočet funkce (složitý funkční předpis, implicitně zadané funkce, …)
• potřeba výpočtu dalších charakteristických funkcí (derivace, integrál, …)

Příklad

Např. Ludolfovo číslo lze za určitých okolností nahradit (aproximovat) hodnotou ²²⁄₇. Aproximace čísla $\pi$ je tedy ²²⁄₇.

Přibližné vztahy využívající Taylorova rozvoje

Mnohé aproximace jsou založeny na rozvoji dané funkce v Taylorovu řadu a následném zanedbání vyšších členů rozvoje. Přesnost aproximace pak souvisí s počtem členů, které jsou použity. Mezi často používané přibližné vztahy patří např.

• ${\mathrm{e}}^{\pm x}\approx 1\pm x$ (pro $x$ blízké nule, příklad v článku Linearizace)
• $\ln (1\pm x)\approx \pm x$ (pro $x$ blízké nule)
• Je-li absolutní hodnota proměnných $x_1,x_2,...,x_n,y_1,y_2,...,y_n$ blízká nule, pak

$\frac{(1\pm x_1)(1\pm x_2)\cdots (1\pm x_n)}{(1\pm y_1)(1\pm y_2)\cdots (1\pm y_n)}\approx 1\pm x_1\pm x_2\pm \cdots \pm x_n\mp y_1\mp y_2\mp \cdots \mp y_n$

Speciálními případy jsou pak vztahy

$(1\pm x_1)(1\pm x_2)\cdots (1\pm x_n)\approx 1\pm x_1\pm x_2\pm \cdots \pm x_n$

$\frac{1}{(1\pm y_1)(1\pm y_2)\cdots (1\pm y_n)}\approx 1\mp y_1\mp y_2\mp \cdots \mp y_n$

• Z předchozích vztahů lze pro $n$-tou mocninu získat vztah (stejný vztah lze získat z binomické věty zanedbáním členů obsahujících vyšší mocniny x)

${(1\pm x)}^n\approx 1\pm nx$

• Pro $n$-tou odmocninu lze nalézt přibližný výraz

$\sqrt[n]{1\pm x}\approx 1\pm \frac{x}{n}$

• Pro dvě kladná a blízká čísla $x$ a $y$ taková, že čtverec jejich rozdílu ${(x-y)}^2$ lze zanedbat proti čtverci jejich součtu ${(x+y)}^2$, lze psát

${(x+y)}^2\approx 4xy$

$\sqrt{xy}\approx \frac{x+y}{2}$

Přibližné výrazy goniometrických funkcí

Pro malý úhel $\alpha \ne 0$ a libovolný úhel $\beta$ lze pro goniometrické funkce použít následující přibližné vztahy.

• $\sin \alpha \approx \alpha$

s relativní chybou menší než $0,1$ pro $|\alpha |<0,08\text{rad}$ neboli $4,5^{\circ }$. Přesnějším přiblížením je

$\sin \alpha \approx \alpha -\frac{{\alpha }^3}{6}$

s relativní chybou menší než ${10}^{-5}$ pro $|\alpha |<0,25\text{rad}$ neboli ${14}^{\circ }$.

• $\cos \alpha \approx 1$

s relativní chybou menší než $0,1$ pro $|\alpha |<0,04\text{rad}$ neboli $2,3^{\circ }$. Přesnějším přiblížením je

$\cos \alpha \approx 1-\frac{{\alpha }^2}{2}$

s relativní chybou menší než ${10}^{-4}$ pro $|\alpha |<0,25\text{rad}$ neboli ${14}^{\circ }$.

• $\mathrm{tg}\alpha \approx \alpha$

s relativní chybou menší než $0,1$ pro $|\alpha |<0,06\text{rad}$ neboli $3,4^{\circ }$. Přesnějším přiblížením je

$\mathrm{tg}\alpha \approx \alpha +\frac{{\alpha }^3}{3}$

s relativní chybou menší než $5\cdot {10}^{-4}$ pro $|\alpha |<0,25\text{rad}$ neboli ${14}^{\circ }$.

• $\alpha \sin \alpha \approx 1$

s relativní chybou menší než $0,1$ pro $|\alpha |<0,017\text{rad}$ neboli $1,{008}^{\circ }$.

• $\sin (\beta \pm \alpha )\approx \sin \beta \pm \alpha \cos \beta$
• $\cos (\beta \pm \alpha )\approx \cos \beta \mp \alpha \sin \beta$
• $\mathrm{tg}(\beta \pm \alpha )\approx \mathrm{tg}\beta \pm \alpha \cos 2\beta$
• $\mathrm{cotg}(\beta \pm \alpha )\approx \mathrm{cotg}\beta \mp \alpha \sin 2\beta$

Související články

• Taylorova řada
• Linearizace