Limitní ordinál

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 3. 3. 2019, 15:04

Limitní ordinál je ordinální číslo, které nemá předchůdce a není prázdné.

Definice

Ordinální číslo <math> \alpha \,\! </math> je limitní, pokud
<math> \alpha \neq 0 \land (\forall \beta \in On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha ) </math>
On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady

Množina <math> \omega \,\!</math> všech přirozených čísel je limitní - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem <math> \omega \,\!</math> ve smyslu výše uvedené definice.

Podobně množina <math> \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\!</math> je limitní.

Naproti tomu ordinály <math> 0,1,7,13,\omega + 1, \omega.\omega + \omega + 15 \,\!</math> nejsou limitní. 0 není limitní z definice a ostatní mají předchůdce <math> 0,6,12,\omega, \omega.\omega + \omega + 14 \,\!</math>. Takovým ordinálům říkáme izolované.

Použití

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Limitní ordinály mají některé zajímavé vlastnosti, které nemají izolované ordinály:

• Množina všech vlastních podmnožin limitního ordinálu nemá největší prvek, ale má supremum - je to tedy tak trochu obdoba shora otevřeného intervalu v reálných číslech.
• Pouze limitní ordinál může být kardinálním číslem.

Související články

• Kofinál
• Izolovaný ordinál
• Ordinální číslo
• Ordinální aritmetika
• Transfinitní indukce
• Transfinitní rekurze
• Kardinální číslo
• Limitní kardinál