The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 24, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Meneláova věta

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Meneláova věta|700}}
+
[[Soubor:Menelaos's_theorem_1.png|thumb|upright=2|Příklad přímky EDF v případě, kdy protíná trojúhelník]]
 +
[[Soubor:Menelaos's_theorem_2.png|thumb|upright=2|Příklad přímky EDF v případě, kdy neprotíná trojúhelník]]
 +
'''Meneláova věta''' je tvrzení o [[trojúhelník|trojúhelnících]] tradičně připisované [[starověké Řecko|starořeckému]] [[matematika|matematikovi]] [[Meneláos Alexandrijský|Meneláovi Alexandrijskému]]. Je podobné [[Cévova věta|Cévově větě]].
 +
 +
== Znění Meneláovy věty ==
 +
Máme-li dány [[bod]]y A,B a C, které tvoří [[trojúhelník]] ABC, a jiné body D, E a F, které leží na [[přímka|přímkách]] BC, AC a AB, pak body D, E a F leží na přímce právě tehdy, když platí
 +
:<math>\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1</math>
 +
V tomto výrazu uvažujeme délky [[úsečka|úseček]] se znaménkem, které je dáno tím, nacházejí-li se body D, E a F uvnitř patřičných úseček, nebo vně. Například podíl AF/FB je kladný právě tehdy, pokud bod F leží na úsečce AB.
 +
 +
== Důkaz ==
 +
Nejdříve ověříme znaménko levé strany a ukážeme, že musí být vždy záporné. To
 +
plyne z toho, že přímka buď trojúhelník neprotne vůbec, nebo jej protne právě
 +
ve dvou bodech (viz [[Paschův axiom]]). Na levé straně je tedy lichý počet
 +
záporných zlomků a jejich součin bude vždy záporný.
 +
 +
Spustíme [[kolmice]] a, b a c z bodů A, B a C na přímku DEF. Z [[podobnost trojúhelníků|podobnosti trojúhelníků]] plyne, že
 +
:<math>\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{a}{b}</math>
 +
:<math>\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{b}{c}</math>
 +
:<math>\frac{|CE|}{|AE|}=\frac{c}{a}</math>
 +
 +
tedy
 +
:<math>\left|\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}\right| = \left|\frac{abc}{abc}\right|= 1</math>
 +
 +
Ještě zbývá dokázat, že pokud by body na přímce neležely, pak rovnost neplatí. Uvažujme bod X na přímce AB, který je různý od bodu F. Označme AF, AX a AB po řadě jako n, n', s. Předpokládejme, že rovnost platí i pro X. Pak platí
 +
:<math>\frac{AF}{FB} = \frac{AX}{XB},</math>
 +
neboli
 +
:<math>\frac{n}{s-n} =\frac{n'}{s-n'},</math>
 +
odkud uvedením na společného jmenovatele a zjednodušením dostaneme <math>n=n'</math>. Tedy <math>F=X</math>, čímž je důkaz hotov.
 +
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [http://planetmath.org/encyclopedia/MenelausTheorem.html Meneláova věta — na PlanetMath (anglicky)]
 +
* [http://mathworld.wolfram.com/MenelausTheorem.html Meneláova věta — na Mathworldu (anglicky)]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Trojúhelník]]
[[Kategorie:Trojúhelník]]

Verze z 24. 2. 2014, 09:03

Příklad přímky EDF v případě, kdy protíná trojúhelník
Příklad přímky EDF v případě, kdy neprotíná trojúhelník

Meneláova věta je tvrzení o trojúhelnících tradičně připisované starořeckému matematikovi Meneláovi Alexandrijskému. Je podobné Cévově větě.

Znění Meneláovy věty

Máme-li dány body A,B a C, které tvoří trojúhelník ABC, a jiné body D, E a F, které leží na přímkách BC, AC a AB, pak body D, E a F leží na přímce právě tehdy, když platí

<math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1</math>

V tomto výrazu uvažujeme délky úseček se znaménkem, které je dáno tím, nacházejí-li se body D, E a F uvnitř patřičných úseček, nebo vně. Například podíl AF/FB je kladný právě tehdy, pokud bod F leží na úsečce AB.

Důkaz

Nejdříve ověříme znaménko levé strany a ukážeme, že musí být vždy záporné. To plyne z toho, že přímka buď trojúhelník neprotne vůbec, nebo jej protne právě ve dvou bodech (viz Paschův axiom). Na levé straně je tedy lichý počet záporných zlomků a jejich součin bude vždy záporný.

Spustíme kolmice a, b a c z bodů A, B a C na přímku DEF. Z podobnosti trojúhelníků plyne, že

<math>\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{a}{b}</math>
<math>\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{b}{c}</math>
<math>\frac{|CE|}{|AE|}=\frac{c}{a}</math>

tedy

<math>\left|\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}\right| = \left|\frac{abc}{abc}\right|= 1</math>

Ještě zbývá dokázat, že pokud by body na přímce neležely, pak rovnost neplatí. Uvažujme bod X na přímce AB, který je různý od bodu F. Označme AF, AX a AB po řadě jako n, n', s. Předpokládejme, že rovnost platí i pro X. Pak platí

<math>\frac{AF}{FB} = \frac{AX}{XB},</math>

neboli

<math>\frac{n}{s-n} =\frac{n'}{s-n'},</math>

odkud uvedením na společného jmenovatele a zjednodušením dostaneme <math>n=n'</math>. Tedy <math>F=X</math>, čímž je důkaz hotov.

Externí odkazy


Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Menel%C3%A1ova_v%C4%9Bta“