Totálně omezený metrický prostor

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Nejobecnější definice Totálně omezeného metrického prostoru je:

podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:

přirozené číslo n a soubor \(A_1, A_2, A_3,... A_n\) podmnožin množiny X, takový, že
- S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
- každá podmnožina A_i má velikost E (nebo menší).

V matematické symbolice:

\( \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! \)

Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.

Porovnání s omezenou množinou

Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.

Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor \(M \) všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností \( a_i,\, b_i \,\! \) supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel \( \left|a_1-b_1\right | ,\, \left|a_2-b_2\right | \dots \,\! \).

Uvažme množinu \(A\subseteq M \) těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

Metrický prostor \(M\) není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina \(A\) je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek \(A\) má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro \(\epsilon =1 \,\! \) existovala konečná \(\epsilon\)-síť \(S\), jejíž prvky můžeme označit \( S(1), S(2), \dots S(m)\,\! \), kde \(m\) je počet jejích prvků.

Pak by bylo možné definovat posloupnost \( c_n\,\! \), definovanou takto:

\(c_i = -2 \,\!\), pokud \(i \le m \,\!\) a \(S(i)_i\ge 0 \,\!\)
\(c_i = \,2 \,\!\), pokud \(i \le m \,\!\) a \(S(i)_i<0 \,\!\)
\(c_i = 0 \,\!\), pokud \(i>m \,\!\)

Symbol \(S(i)_i\) značí \(i\)-tý prvek \(i\)-té posloupnosti v množině \(S\). Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost \(c_n\) se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti \( S(i)\,\! \), čehož dosáhneme tak, že pro každé \(i\) vhodnou volbou \(c_i\) zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti \(S(i)\)

Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek \(S(j)\) má od posloupnosti \( c_n\,\! \) vzdálenost menší, než 1. Z definice \( c_n\,\! \) však plyne, že číslo \(S(j)_j\) je od čísla \(c_j\) vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 podmnožina ''S'' prostoru ''X'' je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost ''E'' existuje:
-* [[přirozené číslo]] ''n'' a soubor <math>A_1, A_2, A_3,... A_n</math> podmnožin množiny ''X'', takový, že
+* [[přirozené číslo]] ''n'' a soubor <big>\(A_1, A_2, A_3,... A_n\)</big> podmnožin množiny ''X'', takový, že
 ** ''S'' je podmnožinou [[sjednocení]] těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny ''S'') a
 ** každá podmnožina ''A<sub>i</sub>'' má velikost ''E'' (nebo menší).
 V [[matematická symbolika|matematické symbolice]]:
-: <math> \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! </math>
+: <big>\( \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! \)</big>
 Uvažujeme-li ''P=X'', pak je prostor ''X'' totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li ''P'' totálně omezená množina.
@@ Řádka 14: / Řádka 14: @@
 ;Totální omezenost je silnější vlastnost, než [[Omezená množina|omezenost]].
-Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor <math>M </math> všech [[Omezená posloupnost|omezených posloupností]] reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností <math> a_i,\, b_i \,\! </math> [[supremum]] z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel <math> \left|a_1-b_1\right | ,\,  \left|a_2-b_2\right | \dots  \,\! </math>.
+Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor <big>\(M \)</big> všech [[Omezená posloupnost|omezených posloupností]] reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností <big>\( a_i,\, b_i \,\! \)</big> [[supremum]] z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel <big>\( \left|a_1-b_1\right | ,\,  \left|a_2-b_2\right | \dots  \,\! \)</big>.
-Uvažme množinu <math>A\subseteq M </math> těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.
+Uvažme množinu <big>\(A\subseteq M \)</big> těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.
-Metrický prostor <math>M</math> není [[Omezená množina|omezený]] (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina <math>A</math> je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek <math>A</math> má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro <math>\epsilon =1 \,\! </math> existovala konečná <math>\epsilon</math>-síť <math>S</math>, jejíž prvky můžeme označit <math> S(1), S(2), \dots S(m)\,\! </math>, kde <math>m</math> je počet jejích prvků.
+Metrický prostor <big>\(M\)</big> není [[Omezená množina|omezený]] (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina <big>\(A\)</big> je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek <big>\(A\)</big> má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro <big>\(\epsilon =1 \,\! \)</big> existovala konečná <big>\(\epsilon\)</big>-síť <big>\(S\)</big>, jejíž prvky můžeme označit <big>\( S(1), S(2), \dots S(m)\,\! \)</big>, kde <big>\(m\)</big> je počet jejích prvků.
-Pak by bylo možné definovat posloupnost <math>  c_n\,\! </math>, definovanou takto:
+Pak by bylo možné definovat posloupnost <big>\(  c_n\,\! \)</big>, definovanou takto:
-* <math>c_i = -2  \,\!</math>, pokud <math>i \le m \,\!</math> a <math>S(i)_i\ge 0 \,\!</math>
+* <big>\(c_i = -2  \,\!\)</big>, pokud <big>\(i \le m \,\!\)</big> a <big>\(S(i)_i\ge 0 \,\!\)</big>
-* <math>c_i = \,2 \,\!</math>, pokud <math>i \le m \,\!</math> a <math>S(i)_i<0 \,\!</math>
+* <big>\(c_i = \,2 \,\!\)</big>, pokud <big>\(i \le m \,\!\)</big> a <big>\(S(i)_i<0 \,\!\)</big>
-* <math>c_i = 0   \,\!</math>, pokud <math>i>m \,\!</math>
+* <big>\(c_i = 0   \,\!\)</big>, pokud <big>\(i>m \,\!\)</big>
-Symbol <math>S(i)_i</math> značí <math>i</math>-tý prvek <math>i</math>-té posloupnosti v množině <math>S</math>. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost <math>c_n</math> se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti <math> S(i)\,\! </math>, čehož dosáhneme tak, že pro každé <math>i</math> vhodnou volbou <math>c_i</math> zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti <math>S(i)</math>
+Symbol <big>\(S(i)_i\)</big> značí <big>\(i\)</big>-tý prvek <big>\(i\)</big>-té posloupnosti v množině <big>\(S\)</big>. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost <big>\(c_n\)</big> se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti <big>\( S(i)\,\! \)</big>, čehož dosáhneme tak, že pro každé <big>\(i\)</big> vhodnou volbou <big>\(c_i\)</big> zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti <big>\(S(i)\)</big>
-Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek <math>S(j)</math> má od posloupnosti <math>  c_n\,\! </math> vzdálenost menší, než 1. Z definice <math>  c_n\,\! </math> však plyne, že číslo <math>S(j)_j</math> je od čísla <math>c_j</math> vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je [[Důkaz sporem|spor]].
+Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek <big>\(S(j)\)</big> má od posloupnosti <big>\(  c_n\,\! \)</big> vzdálenost menší, než 1. Z definice <big>\(  c_n\,\! \)</big> však plyne, že číslo <big>\(S(j)_j\)</big> je od čísla <big>\(c_j\)</big> vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je [[Důkaz sporem|spor]].
 == Související články ==