Nerovnosti mezi průměry

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Nerovnosti mezi průměry v matematice vyjadřují nejčastěji vztah mezi kvadratickým, aritmetickým, geometrickým a harmonickým průměrem nějaké skupiny čísel.

Existují ještě další průměry – zobecněný mocninný (např. odmocninový, kubický), Heronův, aritmeticko-geometrický, logaritmický, harmonicko-kvadratický, kontraharmonický – které lze do nerovností zapsat. Jejich užití je však (kromě Heronova průměru) spíše sporadické.

Vzorec

Označíme-li kvadratický průměr daných kladných čísel jako \(K\), aritmetický průměr \(A\), geometrický průměr \(G\) a harmonický průměr \(H\), pak platí:

\(K \geq A \geq G \geq H\)

Rovnost navíc nastává tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechna průměrovaná čísla stejná.

Například pro \(a_1=1\), \(a_2=2\) je:

\(K=\sqrt{2,5} \dot= 1,58 \geq A=1,5 \geq G=\sqrt{2} \dot=1,41 \geq H=1,\overline{3}\)

Nejdůležitější z těchto nerovností je nerovnost aritmetického a geometrického průměru, nazývaná též AG nerovnost.

Související články

Externí odkazy

Nerovnosti na stránkách matematického korespondenčního semináře MFF UK

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 4: / Řádka 4: @@
 ==Vzorec==
-Označíme-li [[kvadratický průměr]] daných '''[[Kladné a záporné číslo|kladných čísel]]''' jako <math>K</math>, [[aritmetický průměr]] <math>A</math>, [[geometrický průměr]] <math>G</math> a [[harmonický průměr]] <math>H</math>, pak platí:
+Označíme-li [[kvadratický průměr]] daných '''[[Kladné a záporné číslo|kladných čísel]]''' jako <big>\(K\)</big>, [[aritmetický průměr]] <big>\(A\)</big>, [[geometrický průměr]] <big>\(G\)</big> a [[harmonický průměr]] <big>\(H\)</big>, pak platí:
-<math>K \geq A \geq G \geq H</math>
+<big>\(K \geq A \geq G \geq H\)</big>
 [[Rovnost (matematika)|Rovnost]] navíc nastává tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechna průměrovaná [[číslo|čísla]] stejná.
-Například pro <math>a_1=1</math>, <math>a_2=2</math> je:
+Například pro <big>\(a_1=1\)</big>, <big>\(a_2=2\)</big> je:
-<math>K=\sqrt{2,5} \dot= 1,58 \geq A=1,5 \geq G=\sqrt{2} \dot=1,41 \geq H=1,\overline{3}</math>
+<big>\(K=\sqrt{2,5} \dot= 1,58 \geq A=1,5 \geq G=\sqrt{2} \dot=1,41 \geq H=1,\overline{3}\)</big>
 Nejdůležitější z těchto [[nerovnost]]í je nerovnost aritmetického a geometrického průměru, nazývaná též [[AG nerovnost]].