V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Aritmetický průměr

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Výrazné vylepšení)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Aritmetický průměr|700}}
+
'''Aritmetický průměr''' je [[statistika|statistická]] veličina, která v jistém smyslu vyjadřuje typickou hodnotu popisující soubor mnoha hodnot. Aritmetický průměr se obvykle značí vodorovným pruhem nad názvem proměnné, popř. [[řecká abeceda|řeckým písmenem]] [[mí|μ]]. Definice aritmetického průměru je <big>\(\bar{x} = \frac{1}{n} \left ( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right ) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\)</big>, tzn. [[součet]] všech hodnot vydělený jejich počtem. V běžné řeči se obvykle obecným slovem ''průměr'' myslí právě aritmetický průměr.
 +
== Vlastnosti aritmetického průměru ==
 +
* <big>\(\sum^{n}_{i=1}(x_{i} - \bar{x}) = 0\)</big>
 +
* <big>\(y_{i} = ax_{i} + b \Rightarrow \bar{y}=k\bar{x} + c\)</big> ([[linearita]] průměru), speciálně:
 +
** <big>\(y_{i} = x_{i} + c \Rightarrow \bar{y}=\bar{x}+c\)</big>
 +
** <big>\(z_{i} = kx_{i} \Rightarrow \bar{z}=k\bar{x}\)</big>
 +
 +
== Problémy průměru ==
 +
Aritmetický průměr je zřejmě nejčastěji používaný statistický pojem, který se objevuje i v běžném lidském vyjadřování. S tím ovšem souvisí i fakt, že je velice často využíván chybně, či dokonce záměrně zneužíván.
 +
 +
Nejčastější chybou je aplikace aritmetického průměru tam, kde je na místě využít jinou statistiku. Např. průměrný počet ulic v české obci je 13, ale jen 31 z 6250 obcí (méně než 0,5 %) má průměrný počet ulic. Jiný příklad: aritmetický průměr majetku občanů v americkém městě [[Redmond]] je velice vysoké číslo, což ovšem neznamená, že ''typický'' obyvatel tohoto města je bohatý. Tento fakt pouze odráží tu skutečnost, že v daném městě bydlí multimiliardář [[Bill Gates]]. Jinými slovy: jediná hodnota, která se velice výrazně odlišuje od ostatních, může ovlivnit hodnotu aritmetického průměru tak, že vyjadřuje jen zcela iluzorní údaje. Např. aritmetickým průměrem souboru { 1, 2, 2, 2, 3, 9 } je přibližně 3,2, přestože pět ze šesti hodnot tohoto souboru je menších. V obdobných případech je mnohem vhodnější použít pro vyjádření typické hodnoty [[medián]] (který je u této množiny roven dvěma, což je mnohem lepší popis typické hodnoty). Další možností je současně s průměrem uvést i [[směrodatná odchylka|směrodatnou odchylku]], která je v tomto příkladu přibližně 2,9.
 +
 +
V některých situacích je pak použití aritmetického průměru jasnou chybou. Pokud např. cena akcií rostla první rok o 10&nbsp;[[procento|%]], druhý rok o 30 % a třetí rok o 10 % klesla, bylo by chybou vypočítat aritmetický průměr (rovný (10+30+(−10))/3 = 10 %) a prezentovat ho jako „průměrný růst“. V tomto případě je totiž nutno použít [[geometrický průměr]], který je zde roven cca 8,8 %.
 +
 +
Další běžná chyba spočívá v očekávání, že aritmetický průměr splňuje některé vlastnosti, i když tomu tak není. Například vůbec nemusí být pravdou, že přibližně polovina hodnot souboru je menších a polovina větších (pro ukázku viz první příklad). Tuto vlastnost má [[medián]], aritmetický průměr obecně nikoliv.
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Vážený průměr]]
 +
* [[Harmonický průměr]]
 +
* [[Geometrický průměr]]
 +
* [[Kvadratický průměr]]
 +
* [[Medián]]
 +
* [[Modus]]
 +
* [[Nerovnost aritmetického a geometrického průměru]]
 +
* [[Nerovnosti mezi průměry]]
 +
* [[Střední hodnota]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Statistika]]
[[Kategorie:Statistika]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Aritmetický průměr je statistická veličina, která v jistém smyslu vyjadřuje typickou hodnotu popisující soubor mnoha hodnot. Aritmetický průměr se obvykle značí vodorovným pruhem nad názvem proměnné, popř. řeckým písmenem μ. Definice aritmetického průměru je \(\bar{x} = \frac{1}{n} \left ( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right ) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\), tzn. součet všech hodnot vydělený jejich počtem. V běžné řeči se obvykle obecným slovem průměr myslí právě aritmetický průměr.

Vlastnosti aritmetického průměru

  • \(\sum^{n}_{i=1}(x_{i} - \bar{x}) = 0\)
  • \(y_{i} = ax_{i} + b \Rightarrow \bar{y}=k\bar{x} + c\) (linearita průměru), speciálně:
    • \(y_{i} = x_{i} + c \Rightarrow \bar{y}=\bar{x}+c\)
    • \(z_{i} = kx_{i} \Rightarrow \bar{z}=k\bar{x}\)

Problémy průměru

Aritmetický průměr je zřejmě nejčastěji používaný statistický pojem, který se objevuje i v běžném lidském vyjadřování. S tím ovšem souvisí i fakt, že je velice často využíván chybně, či dokonce záměrně zneužíván.

Nejčastější chybou je aplikace aritmetického průměru tam, kde je na místě využít jinou statistiku. Např. průměrný počet ulic v české obci je 13, ale jen 31 z 6250 obcí (méně než 0,5 %) má průměrný počet ulic. Jiný příklad: aritmetický průměr majetku občanů v americkém městě Redmond je velice vysoké číslo, což ovšem neznamená, že typický obyvatel tohoto města je bohatý. Tento fakt pouze odráží tu skutečnost, že v daném městě bydlí multimiliardář Bill Gates. Jinými slovy: jediná hodnota, která se velice výrazně odlišuje od ostatních, může ovlivnit hodnotu aritmetického průměru tak, že vyjadřuje jen zcela iluzorní údaje. Např. aritmetickým průměrem souboru { 1, 2, 2, 2, 3, 9 } je přibližně 3,2, přestože pět ze šesti hodnot tohoto souboru je menších. V obdobných případech je mnohem vhodnější použít pro vyjádření typické hodnoty medián (který je u této množiny roven dvěma, což je mnohem lepší popis typické hodnoty). Další možností je současně s průměrem uvést i směrodatnou odchylku, která je v tomto příkladu přibližně 2,9.

V některých situacích je pak použití aritmetického průměru jasnou chybou. Pokud např. cena akcií rostla první rok o 10 %, druhý rok o 30 % a třetí rok o 10 % klesla, bylo by chybou vypočítat aritmetický průměr (rovný (10+30+(−10))/3 = 10 %) a prezentovat ho jako „průměrný růst“. V tomto případě je totiž nutno použít geometrický průměr, který je zde roven cca 8,8 %.

Další běžná chyba spočívá v očekávání, že aritmetický průměr splňuje některé vlastnosti, i když tomu tak není. Například vůbec nemusí být pravdou, že přibližně polovina hodnot souboru je menších a polovina větších (pro ukázku viz první příklad). Tuto vlastnost má medián, aritmetický průměr obecně nikoliv.

Související články


Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Aritmetick%C3%BD_pr%C5%AFm%C4%9Br“