Limitní ordinál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Limitní ordinál je ordinální číslo, které nemá předchůdce a není prázdné.

Definice

Ordinální číslo \( \alpha \,\! \) je limitní, pokud
\( \alpha \neq 0 \land (\forall \beta \in On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha ) \)
On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady

Množina \( \omega \,\!\) všech přirozených čísel je limitní - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem \( \omega \,\!\) ve smyslu výše uvedené definice.

Podobně množina \( \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\!\) je limitní.

Naproti tomu ordinály \( 0,1,7,13,\omega + 1, \omega.\omega + \omega + 15 \,\!\) nejsou limitní. 0 není limitní z definice a ostatní mají předchůdce \( 0,6,12,\omega, \omega.\omega + \omega + 14 \,\!\). Takovým ordinálům říkáme izolované.

Použití

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Limitní ordinály mají některé zajímavé vlastnosti, které nemají izolované ordinály:

Množina všech vlastních podmnožin limitního ordinálu nemá největší prvek, ale má supremum - je to tedy tak trochu obdoba shora otevřeného intervalu v reálných číslech.
Pouze limitní ordinál může být kardinálním číslem.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 2: / Řádka 2: @@
 ==Definice==
-Ordinální číslo <big>\( \alpha \,\! </math> je '''limitní''', pokud<br />
+Ordinální číslo <big>\( \alpha \,\! \)</big> je '''limitní''', pokud<br />
-<big>\( \alpha \neq 0 \land (\forall \beta \in On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha ) </math><br />
+<big>\( \alpha \neq 0 \land (\forall \beta \in On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha ) \)</big><br />
 '''''On''''' zde označuje [[Třída (matematika)|třídu]] všech ordinálních čísel.
 ==Příklady==
-Množina <big>\( \omega \,\!</math> všech [[Přirozené číslo|přirozených čísel]] je '''limitní''' - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem <big>\( \omega \,\!</math> ve smyslu výše uvedené definice.
+Množina <big>\( \omega \,\!\)</big> všech [[Přirozené číslo|přirozených čísel]] je '''limitní''' - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem <big>\( \omega \,\!\)</big> ve smyslu výše uvedené definice.
-Podobně množina <big>\( \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\!</math> je limitní.
+Podobně množina <big>\( \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\!\)</big> je limitní.
-Naproti tomu ordinály <big>\( 0,1,7,13,\omega + 1, \omega.\omega + \omega + 15 \,\!</math> nejsou limitní. '''0''' není limitní z definice a ostatní mají předchůdce <big>\( 0,6,12,\omega, \omega.\omega + \omega + 14 \,\!</math>. Takovým&nbsp;ordinálům říkáme [[Izolovaný ordinál|izolované]].
+Naproti tomu ordinály <big>\( 0,1,7,13,\omega + 1, \omega.\omega + \omega + 15 \,\!\)</big> nejsou limitní. '''0''' není limitní z definice a ostatní mají předchůdce <big>\( 0,6,12,\omega, \omega.\omega + \omega + 14 \,\!\)</big>. Takovým&nbsp;ordinálům říkáme [[Izolovaný ordinál|izolované]].
 ==Použití==