V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.

Eulerův vzorec

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Eulerův vzorec|700}}
+
[[Soubor:Euler's formula.png|thumb|right|300px|Eulerův vzorec pro libovolný úhel.]]
 +
'''Eulerův vzorec''' určuje vztah mezi [[goniometrická funkce|goniometrickými funkcemi]] a [[exponenciální funkce|exponenciální funkcí]]:
 +
:<math>e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!</math>
 +
== Význam vzorce ==
 +
Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu Komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.
 +
 +
Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:
 +
 +
:<math>f(x) = e^{x}</math>
 +
 +
Ze znalosti [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] víme, že:
 +
 +
:<math>e^{x} = \frac{x^0}{0!} +  \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...</math>
 +
 +
Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem:
 +
 +
:<math>e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} +  \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...</math>
 +
 +
Dosaďme za exponent '''ix''':
 +
 +
:<math>e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} +  \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...</math>
 +
 +
Nyní mírně přerovnejme sčítance
 +
 +
:<math>e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} +  \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)</math>
 +
 +
Ze druhé části vytkněme '''i''':
 +
 +
:<math>e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} +  \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)</math>
 +
 +
Teď se '''i''' vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit:
 +
 +
:<math>e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} -  \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)</math>
 +
 +
Ze znalosti [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:
 +
 +
:<math>e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)</math>
 +
 +
Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Rovnice]]

Verze z 30. 7. 2014, 19:58

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:

<math>e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!</math>

Význam vzorce

Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu Komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.

Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:

<math>f(x) = e^{x}</math>

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že:

<math>e^{x} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...</math>

Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem:

<math>e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} + \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...</math>

Dosaďme za exponent ix:

<math>e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...</math>

Nyní mírně přerovnejme sčítance

<math>e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)</math>

Ze druhé části vytkněme i:

<math>e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)</math>

Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit:

<math>e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)</math>

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:

<math>e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)</math>

Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.


Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Euler%C5%AFv_vzorec“