Korelace

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 22. 8. 2022, 12:24

Informace uvedené v tomto článku je potřeba ověřit.
Prosíme, pomozte vylepšit tento článek doplněním věrohodných zdrojů.

Korelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami. Pokud se jedna z nich mění, mění se korelativně i druhá a naopak. Pokud se mezi dvěma procesy ukáže korelace, je pravděpodobné, že na sobě závisejí, nelze z toho však ještě usoudit, že by jeden z nich musel být příčinou a druhý následkem. To samotná korelace nedovoluje rozhodnout. V určitějším slova smyslu se pojem korelace užívá ve statistice, kde znamená vzájemný lineární vztah mezi znaky či veličinami x a y. Míru korelace pak vyjadřuje korelační koeficient, který může nabývat hodnot od −1 až po +1.

Obsah

1 Korelace ve statistice
- 1.1 Výpočet Pearsonova korelačního koeficientu
2 Korelace v teorii signálů
3 Související články

Korelace ve statistice

Na obrázku je několik příkladů grafického zobrazení naměřených dat a koeficienty jejich korelace s funkcí y = x

Vztah mezi znaky či veličinami x a y může být kladný, pokud (přibližně) platí y = kx, nebo záporný (y = -kx). Hodnota korelačního koeficientu −1 značí zcela nepřímou závislost (antikorelaci), tedy čím více se zvětší hodnoty v první skupině znaků, tím více se zmenší hodnoty v druhé skupině znaků, např. vztah mezi uplynulým a zbývajícím časem. Hodnota korelačního koeficientu +1 značí zcela přímou závislost, např. vztah mezi rychlostí bicyklu a frekvencí otáček kola bicyklu. Pokud je korelační koeficient roven 0 (nekorelovanost), pak mezi znaky není žádná statisticky zjistitelná lineární závislost. Je dobré si uvědomit, že i při nulovém korelačním koeficientu na sobě veličiny mohou záviset, pouze tento vztah nelze vyjádřit lineární funkcí, a to ani přibližně.

Výpočet Pearsonova korelačního koeficientu

Vypočteme aritmetické průměry souborů X a Y (E(X) a E(Y)), vynásobíme sumy odchylek od těchto průměrů obou souborů. Tím jsme spočetli tzv. kovarianci, což je však absolutní veličina, pro výpočet relativní veličiny pak kovarianci dělíme násobkem odmocnin rozptylů souborů X a Y.

\(\rho_{X,Y}={\mathrm{cov}(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} ={E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)) \over \sigma_X\sigma_Y},\)

Protože μ_X = E(X), \(\sigma^2_X = E(X^2) - E^2(X)\) a obdobně pro Y, můžeme psát:

\(\rho_{X,Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}~\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}\)

Koeficient korelace nabývá hodnot z intervalu \(\langle -1,1\rangle\). Při nezávislosti veličin X a Y je koeficient korelace roven 0. Tento koeficient jako první odvodil anglický psycholog a antropolog sir Francis Galton.

Korelace v teorii signálů

Hlavní článek: korelace (zpracování signálu)

Zkrácený výraz pro korelační funkci. Pro spojité signály f(t) a g(t):

\((f \star g)(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^{\infty} f^*(\tau) \cdot g(t+\tau)\,d\tau\)

Pro diskrétní signály f_k a g_k:

\((f \star g)_k \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{i=-\infty}^{\infty} f^*_i \ g_{k+i}\)

U komplexních signálů f* představuje komplexně sdružené číslo k f. Velmi se podobá konvoluci. Rozdíl je hlavně v časovém překlopení druhé funkce g. Jako autokorelace se rozumí korelace \((f \star f)\). Lze tak určit tzv. soběpodobnost signálu, tedy zda se např. signál v určitých periodách neopakuje.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 V určitějším slova smyslu se pojem korelace užívá ve [[Statistika|statistice]], kde znamená vzájemný lineární vztah mezi znaky či veličinami ''x'' a ''y''. Míru korelace pak vyjadřuje korelační koeficient, který může nabývat hodnot od −1 až po +1.
 == Korelace ve statistice ==
-[[Soubor:Correlation examples.png|thumb|upright=2.1|right|Na obrázku je několik příkladů grafického zobrazení naměřených dat a koeficienty jejich korelace s funkcí y = x]]
+[[Soubor:Correlation examples2.png|thumb|250px|Na obrázku je několik příkladů grafického zobrazení naměřených dat a koeficienty jejich korelace s funkcí y = x]]
 Vztah mezi znaky či veličinami ''x'' a ''y'' může být kladný, pokud (přibližně) platí ''y'' = ''kx'', nebo záporný (''y'' = -''kx''). Hodnota korelačního koeficientu −1 značí zcela nepřímou závislost (antikorelaci), tedy čím více se zvětší hodnoty v první skupině znaků, tím více se zmenší hodnoty v druhé skupině znaků, např. vztah mezi uplynulým a zbývajícím časem. Hodnota korelačního koeficientu +1 značí zcela přímou závislost, např. vztah mezi rychlostí bicyklu a frekvencí otáček kola bicyklu. Pokud je korelační koeficient roven 0 (nekorelovanost), pak mezi znaky není žádná statisticky zjistitelná lineární závislost. Je dobré si uvědomit, že i při nulovém korelačním koeficientu na sobě veličiny mohou záviset, pouze tento vztah nelze vyjádřit lineární funkcí, a to ani přibližně.
 === Výpočet Pearsonova korelačního koeficientu ===
 Vypočteme [[Aritmetický průměr|aritmetické průměry]] souborů X a Y (E(X) a E(Y)), vynásobíme sumy odchylek od těchto průměrů obou souborů. Tím jsme spočetli tzv. [[Kovariance|kovarianci]], což je však absolutní veličina, pro výpočet relativní veličiny pak kovarianci dělíme násobkem odmocnin [[Rozptyl (statistika)|rozptylů]] souborů X a Y.
-:<math>\rho_{X,Y}={\mathrm{cov}(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} ={E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)) \over \sigma_X\sigma_Y},</math>
+:<big>\(\rho_{X,Y}={\mathrm{cov}(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} ={E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)) \over \sigma_X\sigma_Y},\)</big>
-Protože μ<sub>''X''</sub> = E(''X''), <math>\sigma^2_X = E(X^2) - E^2(X)</math> a obdobně pro ''Y'', můžeme psát:
+Protože μ<sub>''X''</sub> = E(''X''), <big>\(\sigma^2_X = E(X^2) - E^2(X)\)</big> a obdobně pro ''Y'', můžeme psát:
-:<math>\rho_{X,Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}~\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}</math>
+:<big>\(\rho_{X,Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}~\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}\)</big>
-Koeficient korelace nabývá hodnot z intervalu <math>\langle -1,1\rangle</math>. Při nezávislosti veličin X a Y je koeficient korelace roven 0.
+Koeficient korelace nabývá hodnot z intervalu <big>\(\langle -1,1\rangle\)</big>. Při nezávislosti veličin X a Y je koeficient korelace roven 0.
 Tento koeficient jako první odvodil anglický psycholog a antropolog sir [[Francis Galton]].
 == Korelace v teorii signálů ==
@@ Řádka 16: / Řádka 16: @@
 Zkrácený výraz pro [[korelační funkce|korelační funkci]].
 Pro spojité signály ''f(t)'' a ''g(t)'':
-:<math>(f \star g)(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^{\infty} f^*(\tau) \cdot g(t+\tau)\,d\tau</math>
+:<big>\((f \star g)(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^{\infty} f^*(\tau) \cdot g(t+\tau)\,d\tau\)</big>
 Pro diskrétní signály ''f<sub>k</sub>'' a ''g<sub>k</sub>'':
-:<math>(f \star g)_k \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{i=-\infty}^{\infty} f^*_i \ g_{k+i}</math>
+:<big>\((f \star g)_k \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{i=-\infty}^{\infty} f^*_i \ g_{k+i}\)</big>
 U komplexních signálů ''f*'' představuje [[komplexně sdružené číslo]] k ''f''.
 Velmi se podobá [[Konvoluce|konvoluci]]. Rozdíl je hlavně v časovém překlopení druhé funkce ''g''.
-Jako '''autokorelace''' se rozumí korelace <math>(f \star f)</math>. Lze tak určit tzv. soběpodobnost signálu, tedy zda se např. signál v určitých periodách neopakuje.
+Jako '''autokorelace''' se rozumí korelace <big>\((f \star f)\)</big>. Lze tak určit tzv. soběpodobnost signálu, tedy zda se např. signál v určitých periodách neopakuje.
 == Související články ==
 * [[Charakteristika náhodné veličiny]]
 * [[Spearmanův koeficient pořadové korelace]]
 {{Článek z Wikipedie}}
 [[Kategorie:Statistika]]