Párování grafu

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 15. 8. 2022, 17:04

Párování grafu je v teorii grafů taková podmnožina hran grafu, že žádné dvě hrany z této množiny nemají společný vrchol.

Idea je taková, že vrcholy grafů dáváme do párů. Pár může vzniknout jen tam, kde byla hrana. Přitom každý vrchol může být jen v jednom páru. Řadu praktických problémů lze převést na algoritmizované hledání jistého typu párování v grafu.

Definice

Nechť G = (V,E) je neorientovaný graf. Množina \(M \subseteq E\) se nazývá párováním grafu G, pokud žádné dvě hrany v M nemají společný vrchol.

Prázdná množina je párováním na každém grafu (nemá žádné páry - hrany). Graf bez hran má pouze prázdné párování.

Maximální párování grafu je to párování, které má nejvíce hran. Graf může mít několik různých maximálních párování. Kružnice sudé délky má právě 2 maximální párování.

Perfektní párování grafu je párování, které pokrývá všechny vrcholy grafu. Grafy s lichým počtem vrcholů nemohou mít perfektní párování. Každé perfektní párování je zároveň maximálním párováním.

Hledání párování

Vrchol \(v \in V\) se nazývá M-saturovaný (M-nasycený), pokud je obsažen v nějaké hraně párování M. V perfektním párování \(M\) jsou všechny vrcholy grafu M-saturované.

Cesta \( P = (v_0, v_1, ..., v_k)\,\) se nazývá M-střídající, pokud \((\forall v \in P)((v_{i-1},v_i) \in M) \land (v_i,v_{i+1}) \notin M) \), tj. pokud hrany na této cestě střídavě leží a neleží v M.

M-střídající cestu nazveme M-zlepšující, pokud nejsou její koncové vrcholy M-saturované. Takováto M-zlepšující cesta má sudý počet vrcholů. "Zlepšíme" ji tak, že "prohodíme" pořadí hran. Příklad: z M-zlepšující cesty (1, 2-3, 4-5, 6) dostaneme (1-2, 3-4, 5-6). Tím přidáme do M novou hranu, přitom zachováme vlastnosti párování.

Věta (Berge, 1957): Párování v grafu G je maximální právě tehdy, když v G neexistuje M-zlepšující cesta.

Nalezení párování v obecném grafu lze provést v polynomiálně omezeném čase. Hledání párování v bipartitním grafu lze převést na úlohu toků v sítích.

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 4: / Řádka 4: @@
 == Definice ==
-Nechť ''G'' = (''V'',''E'') je neorientovaný graf. Množina <big>\(M \subseteq E</math> se nazývá '''párováním grafu''' ''G'', pokud žádné dvě hrany v ''M'' nemají společný vrchol.
+Nechť ''G'' = (''V'',''E'') je neorientovaný graf. Množina <big>\(M \subseteq E\)</big> se nazývá '''párováním grafu''' ''G'', pokud žádné dvě hrany v ''M'' nemají společný vrchol.
 Prázdná množina je párováním na každém grafu (nemá žádné páry - hrany). Graf bez hran má pouze prázdné párování.
@@ Řádka 16: / Řádka 16: @@
 == Hledání párování ==
-Vrchol <big>\(v \in V</math> se nazývá '''M-saturovaný''' (M-nasycený), pokud je obsažen v nějaké hraně párování '''M'''.
+Vrchol <big>\(v \in V\)</big> se nazývá '''M-saturovaný''' (M-nasycený), pokud je obsažen v nějaké hraně párování '''M'''.
-V perfektním párování <big>\(M</math> jsou všechny vrcholy grafu M-saturované.
+V perfektním párování <big>\(M\)</big> jsou všechny vrcholy grafu M-saturované.
-Cesta <big>\( P = (v_0, v_1, ..., v_k)\,</math> se nazývá '''M-střídající''', pokud <big>\((\forall v \in P)((v_{i-1},v_i) \in M) \and (v_i,v_{i+1}) \notin M) </math>, tj. pokud hrany na této cestě střídavě leží a neleží v M.
+Cesta <big>\( P = (v_0, v_1, ..., v_k)\,\)</big> se nazývá '''M-střídající''', pokud <big>\((\forall v \in P)((v_{i-1},v_i) \in M) \land (v_i,v_{i+1}) \notin M) \)</big>, tj. pokud hrany na této cestě střídavě leží a neleží v M.
 M-střídající cestu nazveme '''M-zlepšující''', pokud nejsou její koncové vrcholy M-saturované.