V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.

Totálně omezený metrický prostor

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Totálně omezený metrický prostor|700}}
+
{{Upravit}}
 +
Nejobecnější definice '''Totálně omezeného metrického prostoru''' je:
 +
podmnožina ''S'' prostoru ''X'' je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost ''E'' existuje:
 +
* [[přirozené číslo]] ''n'' a soubor <big>\(A_1, A_2, A_3,... A_n\)</big> podmnožin množiny ''X'', takový, že
 +
** ''S'' je podmnožinou [[sjednocení]] těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny ''S'') a
 +
** každá podmnožina ''A<sub>i</sub>'' má velikost ''E'' (nebo menší).
 +
V [[matematická symbolika|matematické symbolice]]:
 +
: <big>\( \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! \)</big>
 +
 +
Uvažujeme-li ''P=X'', pak je prostor ''X'' totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li ''P'' totálně omezená množina.
 +
 +
== Porovnání s omezenou množinou ==
 +
;Totální omezenost je silnější vlastnost, než [[Omezená množina|omezenost]].
 +
 +
Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor <big>\(M \)</big> všech [[Omezená posloupnost|omezených posloupností]] reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností <big>\( a_i,\, b_i \,\! \)</big> [[supremum]] z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel <big>\( \left|a_1-b_1\right | ,\,  \left|a_2-b_2\right | \dots  \,\! \)</big>.
 +
 +
Uvažme množinu <big>\(A\subseteq M \)</big> těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.
 +
 +
Metrický prostor <big>\(M\)</big> není [[Omezená množina|omezený]] (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina <big>\(A\)</big> je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek <big>\(A\)</big> má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro <big>\(\epsilon =1 \,\! \)</big> existovala konečná <big>\(\epsilon\)</big>-síť <big>\(S\)</big>, jejíž prvky můžeme označit <big>\( S(1), S(2), \dots S(m)\,\! \)</big>, kde <big>\(m\)</big> je počet jejích prvků.
 +
 +
Pak by bylo možné definovat posloupnost <big>\(  c_n\,\! \)</big>, definovanou takto:
 +
* <big>\(c_i = -2  \,\!\)</big>, pokud <big>\(i \le m \,\!\)</big> a <big>\(S(i)_i\ge 0 \,\!\)</big>
 +
* <big>\(c_i = \,2 \,\!\)</big>, pokud <big>\(i \le m \,\!\)</big> a <big>\(S(i)_i<0 \,\!\)</big>
 +
* <big>\(c_i = 0  \,\!\)</big>, pokud <big>\(i>m \,\!\)</big>
 +
 +
Symbol <big>\(S(i)_i\)</big> značí <big>\(i\)</big>-tý prvek <big>\(i\)</big>-té posloupnosti v množině <big>\(S\)</big>. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost <big>\(c_n\)</big> se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti <big>\( S(i)\,\! \)</big>, čehož dosáhneme tak, že pro každé <big>\(i\)</big> vhodnou volbou <big>\(c_i\)</big> zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti <big>\(S(i)\)</big>
 +
 +
Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek <big>\(S(j)\)</big> má od posloupnosti <big>\(  c_n\,\! \)</big> vzdálenost menší, než 1. Z definice <big>\(  c_n\,\! \)</big> však plyne, že číslo <big>\(S(j)_j\)</big> je od čísla <big>\(c_j\)</big> vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je [[Důkaz sporem|spor]].
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Kompaktní množina]]
 +
* [[Metrický prostor]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrie]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Broom icon.png Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. 		Broom icon.png

Nejobecnější definice Totálně omezeného metrického prostoru je:

podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:

  • přirozené číslo n a soubor \(A_1, A_2, A_3,... A_n\) podmnožin množiny X, takový, že
    • S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
    • každá podmnožina Ai má velikost E (nebo menší).

V matematické symbolice:

\( \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! \)

Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.

Porovnání s omezenou množinou

Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.

Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor \(M \) všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností \( a_i,\, b_i \,\! \) supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel \( \left|a_1-b_1\right | ,\, \left|a_2-b_2\right | \dots \,\! \).

Uvažme množinu \(A\subseteq M \) těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

Metrický prostor \(M\) není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina \(A\) je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek \(A\) má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro \(\epsilon =1 \,\! \) existovala konečná \(\epsilon\)-síť \(S\), jejíž prvky můžeme označit \( S(1), S(2), \dots S(m)\,\! \), kde \(m\) je počet jejích prvků.

Pak by bylo možné definovat posloupnost \( c_n\,\! \), definovanou takto:

  • \(c_i = -2 \,\!\), pokud \(i \le m \,\!\) a \(S(i)_i\ge 0 \,\!\)
  • \(c_i = \,2 \,\!\), pokud \(i \le m \,\!\) a \(S(i)_i<0 \,\!\)
  • \(c_i = 0 \,\!\), pokud \(i>m \,\!\)

Symbol \(S(i)_i\) značí \(i\)-tý prvek \(i\)-té posloupnosti v množině \(S\). Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost \(c_n\) se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti \( S(i)\,\! \), čehož dosáhneme tak, že pro každé \(i\) vhodnou volbou \(c_i\) zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti \(S(i)\)

Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek \(S(j)\) má od posloupnosti \( c_n\,\! \) vzdálenost menší, než 1. Z definice \( c_n\,\! \) však plyne, že číslo \(S(j)_j\) je od čísla \(c_j\) vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.

Související články


Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Tot%C3%A1ln%C4%9B_omezen%C3%BD_metrick%C3%BD_prostor“