V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Střední hodnota

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Střední hodnota|700}}
+
{{Možná hledáte|[[Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu]]}}
 +
'''Střední hodnota''' je nejznámější [[míra polohy]] ve [[statistika|statistice]]. Často se nazývá ''populační průměr''.
 +
Střední hodnota [[náhodná veličina|náhodné veličiny]] <big>\(X\)</big> se značí <big>\(\operatorname{E}X\)</big>, <big>\(\operatorname{E}(X)\)</big> nebo také <big>\(\langle X\rangle\)</big>.
 +
 +
== Definice ==
 +
Střední hodnota je parametr [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] [[náhodná veličina|náhodné veličiny]], který je definován jako [[vážený průměr]] daného rozdělení. V řeči [[teorie míry]] se jedná o hodnotu
 +
:<big>\(\operatorname{E}X = \int_{R} x \mathrm{d}P(x)\)</big>,
 +
kde <big>\(P\)</big> je pravděpodobnostní míra určující [[rozdělení náhodné veličiny]] <big>\(X\)</big>. Pokud výraz na pravé straně [[absolutní konvergence|nekonverguje absolutně]], pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.
 +
 +
Speciálně:
 +
* Má-li náhodná veličina <big>\(X\)</big> [[spojité rozdělení]] s [[hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustotou rozdělení]] <big>\(f(x)\)</big>, pak
 +
:<big>\(\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \mathrm{d}x\)</big>.
 +
* Má-li náhodná veličina <big>\(X\)</big> [[diskrétní rozdělení]] kde <big>\(P[X=s_{i}]=p_{i}\)</big> pro <big>\(i \in I\)</big> nejvýše [[spočetná množina|spočetnou množinu]] různých výsledků, pak
 +
:<big>\(\operatorname{E}X = \sum_{I} s_{i} p_{i}\)</big>
 +
 +
== Vlastnosti ==
 +
Střední hodnota [[konstanta|konstanty]] <big>\(c\)</big> je
 +
:<big>\(\operatorname{E}(c)=c\)</big>
 +
 +
Pro střední hodnotu [[součin]]u náhodné veličiny <big>\(X\)</big> a konstanty <big>\(c\)</big> platí
 +
:<big>\(\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)\)</big>
 +
 +
Střední hodnota [[Sčítání|součtu]] dvou náhodných veličin <big>\(X, Y\)</big> je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy
 +
:<big>\(\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y)\)</big>
 +
Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.
 +
 +
Pro [[nezávislé jevy|nezávislé náhodné veličiny]] <big>\(X, Y\)</big> je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.
 +
:<big>\(\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)\)</big>
 +
Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!
 +
 +
== Příklady ==
 +
=== Diskrétní náhodná veličina ===
 +
Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.
 +
 +
Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.
 +
 +
=== Spojitá náhodná veličina ===
 +
Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x.
 +
Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Rozptyl (statistika)]]
 +
* [[Charakteristika náhodné veličiny]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Matematická statistika]]
[[Kategorie:Matematická statistika]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53


Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá populační průměr.

Střední hodnota náhodné veličiny \(X\) se značí \(\operatorname{E}X\), \(\operatorname{E}(X)\) nebo také \(\langle X\rangle\).

Obsah

Definice

Střední hodnota je parametr rozdělení náhodné veličiny, který je definován jako vážený průměr daného rozdělení. V řeči teorie míry se jedná o hodnotu

\(\operatorname{E}X = \int_{R} x \mathrm{d}P(x)\),

kde \(P\) je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny \(X\). Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně:

\(\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \mathrm{d}x\).
\(\operatorname{E}X = \sum_{I} s_{i} p_{i}\)

Vlastnosti

Střední hodnota konstanty \(c\) je

\(\operatorname{E}(c)=c\)

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny \(X\) a konstanty \(c\) platí

\(\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)\)

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin \(X, Y\) je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy

\(\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y)\)

Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny \(X, Y\) je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.

\(\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)\)

Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!

Příklady

Diskrétní náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x. Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.

Související články


Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/St%C5%99edn%C3%AD_hodnota“