Střední hodnota

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá populační průměr.

Střední hodnota náhodné veličiny $X$ se značí $E X$ , $E (X)$ nebo také $⟨ X ⟩$ .

Obsah

[skrýt]

1 Definice
2 Vlastnosti
3 Příklady
- 3.1 Diskrétní náhodná veličina
- 3.2 Spojitá náhodná veličina
4 Související články

Definice

Střední hodnota je parametr rozdělení náhodné veličiny, který je definován jako vážený průměr daného rozdělení. V řeči teorie míry se jedná o hodnotu

E X = \int_{R} x d P (x)

,

kde $P$ je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny $X$ . Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně:

Má-li náhodná veličina $X$ spojité rozdělení s hustotou rozdělení $f (x)$ , pak

E X = \int_{R} x f (x) d x

.

Má-li náhodná veličina $X$ diskrétní rozdělení kde $P [X = s_{i}] = p_{i}$ pro $i \in I$ nejvýše spočetnou množinu různých výsledků, pak

E X = \sum_{I} s_{i} p_{i}

Vlastnosti

Střední hodnota konstanty $c$ je

E (c) = c

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny $X$ a konstanty $c$ platí

E (c X) = c E (X)

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin $X, Y$ je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny $X, Y$ je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.

E (X Y) = E (X) E (Y)

Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!

Příklady

Diskrétní náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x. Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.

Související články

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-{{Wikipedia-cs|Střední hodnota|700}}
+{{Možná hledáte|[[Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu]]}}
+'''Střední hodnota''' je nejznámější [[míra polohy]] ve [[statistika|statistice]]. Často se nazývá ''populační průměr''.
+Střední hodnota [[náhodná veličina|náhodné veličiny]] <big> $X$ </big> se značí <big> $E X$ </big>, <big> $E (X)$ </big> nebo také <big> $⟨ X ⟩$ </big>.
+== Definice ==
+Střední hodnota je parametr [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] [[náhodná veličina|náhodné veličiny]], který je definován jako [[vážený průměr]] daného rozdělení. V řeči [[teorie míry]] se jedná o hodnotu
+:<big> $E X = \int_{R} x d P (x)$ </big>,
+kde <big> $P$ </big> je pravděpodobnostní míra určující [[rozdělení náhodné veličiny]] <big> $X$ </big>. Pokud výraz na pravé straně [[absolutní konvergence|nekonverguje absolutně]], pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.
+Speciálně:
+* Má-li náhodná veličina <big> $X$ </big> [[spojité rozdělení]] s [[hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustotou rozdělení]] <big> $f (x)$ </big>, pak
+:<big> $E X = \int_{R} x f (x) d x$ </big>.
+* Má-li náhodná veličina <big> $X$ </big> [[diskrétní rozdělení]] kde <big> $P [X = s_{i}] = p_{i}$ </big> pro <big> $i \in I$ </big> nejvýše [[spočetná množina|spočetnou množinu]] různých výsledků, pak
+:<big> $E X = \sum_{I} s_{i} p_{i}$ </big>
+== Vlastnosti ==
+Střední hodnota [[konstanta|konstanty]] <big> $c$ </big> je
+:<big> $E (c) = c$ </big>
+Pro střední hodnotu [[součin]]u náhodné veličiny <big> $X$ </big> a konstanty <big> $c$ </big> platí
+:<big> $E (c X) = c E (X)$ </big>
+Střední hodnota [[Sčítání|součtu]] dvou náhodných veličin <big> $X, Y$ </big> je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy
+:<big> $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ </big>
+Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.
+Pro [[nezávislé jevy|nezávislé náhodné veličiny]] <big> $X, Y$ </big> je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.
+:<big> $E (X Y) = E (X) E (Y)$ </big>
+Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!
+== Příklady ==
+=== Diskrétní náhodná veličina ===
+Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.
+Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.
+=== Spojitá náhodná veličina ===
+Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x.
+Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.
+== Související články ==
+* [[Rozptyl (statistika)]]
+* [[Charakteristika náhodné veličiny]]
+{{Článek z Wikipedie}}
 [[Kategorie:Matematická statistika]]