Skewesovo číslo

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

První a druhé Skewesovo číslo jsou jedněmi z největších čísel, která byla použita v matematice.^[1] Jsou pojmenována po jihoafrickém matematikovi Stanleym Skewesovi, který je poprvé použil. Obě Skewesova čísla byla ve své době nejmenšími známými horními odhady pro řešení dvou souvisejících problémů teorie čísel. První Skewesovo číslo bývá často nazýváno jen Skewesovo číslo.

Hodnota prvního Skewesova čísla je \(\mathrm e^{ \mathrm e^{ \mathrm e^{79} } }\), což je přibližně \(10^{10^{8,85\times 10^{33}} }\) nebo \(10^{10^{10^{34}}}\), hodnota druhého Skewesova čísla je \(10^{10^{10^{1000}}}\).

Historie vzniku

Skewesova čísla vznikla jako horní odhady pro řešení následujícího problému.

Nechť π(x) značí počet prvočísel menších než x a Li(x) logaritmický integrál, tj. hodnotu \(\int^x_2\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\). Například z věty o prvočíslech plyne asymptotický vztah \(\,\pi(x)\sim \hbox{Li}(x)\) (tj. \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{\hbox{Li}(x)}=1\)), který zhruba řečeno říká, že „hodnoty funkcí π a Li jsou pro velké argumenty x přibližně stejné“. Přirozenou otázkou proto je, která z těchto dvou funkcí je větší?

Pro malá přirozená čísla x převažuje funkce Li, jak lze snadno spočítat. Skewesův učitel John Edensor Littlewood dokázal v roce 1914, že tomu tak není pro všechna čísla – existuje n přirozené takové, že π(n)>Li(n), a tedy nejmenší takové n (Littlewood dokázal dokonce více – funkce (π - Li)(x) mění v oboru přirozených čísel znaménko nekonečněkrát)^[2]. Problém Littlewoodova důkazu spočíval v tom, že byl „neefektivní“, tj. nebylo z něj možné určit (ani přibližně) hodnotu tohoto n.

Stanley Skewes předvedl první efektivní důkaz v roce 1933^[3]. Prokázal, že za předpokladu Riemannovy hypotézy je nejmenší n, pro něž π(n)>Li(n), menší než \(\mathrm e^{ \mathrm e^{ \mathrm e^{79} } }\) (přibližně \(10^{10^{8,85\times 10^{33}} }\)). Tento horní odhad dostal název Skewesovo číslo (později přejmenované na první Skewesovo číslo).

V roce 1955 se již Skewes dokázal obejít bez dodatečného předpokladu Riemannovy hypotézy, když byl v takovém případě schopen odhadnout velikost n hodnotou \(10^{10^{10^{1000}}}\) nazvanou později druhé Skewesovo číslo^[4].

Pozdější vylepšení

V roce 2000 dokázali Bays a Hudson vylepšit Skewesovy odhady na 1,39822×10³¹⁶, a to bez předpokladu Riemannovy hypotézy^[5].

Související články

Literatura

H. J. J. te Riele. „On the difference π(x) − Li(x)“, Mathematics of Computation 48 (1987), pp. 323-328 – Vylepšení Skewesova odhadu, později překonané Baysem a Hudsonem

Reference

↑ Čísel je samozřejmě nekonečně mnoho, ale Skewesova čísla jsou zřejmě největší známé údaje, které mají nějaký věcný obsah. Pro představu např. počet elementráních částic ve známém vesmíru se odhaduje na \(10^{100}\). Viz MAREŠ, Milan. Příběhy matematiky. Příbram : Pistorius, 2008. ISBN 978-80-87053-16-4. S. 146.
↑ J. E. Littlewood. „Sur la distribution des nombres premiers“, Comptes Rendus 158 (1914), pp. 1869-1872
↑ Stanley Skewes: „On the difference π(x) − Li(x)“, Journal of the London Mathematical Society 8 (1933), pp. 277-283.
↑ Stanley Skewes: „On the difference π(x) − Li(x) (II)“, Proceedings of the London Mathematical Society 5 (1955), pp. 48-70.
↑ C. Bays and R. H. Hudson. "A new bound for the smallest x with π(x)>li(x)". Mathematics of Computation 69 (2000), no. 231, pp. 1285–1296

Externí odkazy

Skewesovo číslo v encyklopedii MathWorld (anglicky)
C. Bays and R. H. Hudson. "A new bound for the smallest x with π(x)>li(x)". Mathematics of Computation 69 (2000), no. 231, pp. 1285–1296 – Baysův a Hudsonův dosud nejlepší známý odhad

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[0] Čísel je samozřejmě nekonečně mnoho, ale Skewesova čísla jsou zřejmě největší známé údaje, které mají nějaký věcný obsah. Pro představu např. počet elementráních částic ve známém vesmíru se odhaduje na \(10^{100}\). Viz MAREŠ, Milan. Příběhy matematiky. Příbram : Pistorius, 2008. ISBN 978-80-87053-16-4. S. 146.

[1] J. E. Littlewood. „Sur la distribution des nombres premiers“, Comptes Rendus 158 (1914), pp. 1869-1872

[2] Stanley Skewes: „On the difference π(x) − Li(x)“, Journal of the London Mathematical Society 8 (1933), pp. 277-283.

[3] Stanley Skewes: „On the difference π(x) − Li(x) (II)“, Proceedings of the London Mathematical Society 5 (1955), pp. 48-70.

[4] C. Bays and R. H. Hudson. "A new bound for the smallest x with π(x)>li(x)". Mathematics of Computation 69 (2000), no. 231, pp. 1285–1296

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-'''První''' a '''druhé Skewesovo číslo''' jsou jedněmi z největších čísel, která byla použita v [[matematika|matematice]].<ref>Čísel je samozřejmě nekonečně mnoho, ale Skewesova čísla jsou zřejmě největší známé údaje, které mají nějaký věcný obsah. Pro představu např. počet elementráních částic ve známém vesmíru se odhaduje na <big>\(10^{100}</math>. Viz {{Citace monografie
+'''První''' a '''druhé Skewesovo číslo''' jsou jedněmi z největších čísel, která byla použita v [[matematika|matematice]].<ref>Čísel je samozřejmě nekonečně mnoho, ale Skewesova čísla jsou zřejmě největší známé údaje, které mají nějaký věcný obsah. Pro představu např. počet elementráních částic ve známém vesmíru se odhaduje na <big>\(10^{100}\)</big>. Viz {{Citace monografie
   | příjmení = Mareš
   | jméno = Milan
@@ Řádka 17: / Řádka 17: @@
 </ref> Jsou pojmenována po [[Jihoafrická republika|jihoafrickém]] [[matematik]]ovi [[Stanley Skewes|Stanleym Skewesovi]], který je poprvé použil. Obě Skewesova čísla byla ve své době nejmenšími známými [[horní odhad|horními odhady]] pro řešení dvou souvisejících problémů [[teorie čísel]]. První Skewesovo číslo bývá často nazýváno jen '''Skewesovo číslo'''.
-Hodnota prvního Skewesova čísla je <big>\(\mathrm e^{ \mathrm e^{  \mathrm e^{79} } }</math>, což je přibližně <big>\(10^{10^{8,85\times 10^{33}} }</math> nebo <big>\(10^{10^{10^{34}}}</math>, hodnota druhého Skewesova čísla je <big>\(10^{10^{10^{1000}}}</math>.
+Hodnota prvního Skewesova čísla je <big>\(\mathrm e^{ \mathrm e^{  \mathrm e^{79} } }\)</big>, což je přibližně <big>\(10^{10^{8,85\times 10^{33}} }\)</big> nebo <big>\(10^{10^{10^{34}}}\)</big>, hodnota druhého Skewesova čísla je <big>\(10^{10^{10^{1000}}}\)</big>.
 == Historie vzniku ==
 Skewesova čísla vznikla jako [[horní odhad]]y pro řešení následujícího problému.
-Nechť π(''x'') značí počet [[prvočíslo|prvočísel]] menších než ''x'' a ''Li''(''x'') [[logaritmický integrál]], tj. hodnotu <big>\(\int^x_2\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}</math>. Například z [[věta o prvočíslech|věty o prvočíslech]] plyne asymptotický vztah <big>\(\,\pi(x)\sim \hbox{Li}(x)</math> (tj. <big>\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{\hbox{Li}(x)}=1</math>), který zhruba řečeno říká, že „hodnoty funkcí π a ''Li'' jsou pro velké argumenty ''x'' přibližně stejné“. Přirozenou otázkou proto je, která z těchto dvou funkcí je větší?
+Nechť π(''x'') značí počet [[prvočíslo|prvočísel]] menších než ''x'' a ''Li''(''x'') [[logaritmický integrál]], tj. hodnotu <big>\(\int^x_2\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\)</big>. Například z [[věta o prvočíslech|věty o prvočíslech]] plyne asymptotický vztah <big>\(\,\pi(x)\sim \hbox{Li}(x)\)</big> (tj. <big>\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{\hbox{Li}(x)}=1\)</big>), který zhruba řečeno říká, že „hodnoty funkcí π a ''Li'' jsou pro velké argumenty ''x'' přibližně stejné“. Přirozenou otázkou proto je, která z těchto dvou funkcí je větší?
 Pro malá [[přirozené číslo|přirozená čísla]] ''x'' převažuje funkce ''Li'', jak lze snadno spočítat. Skewesův učitel [[John Edensor Littlewood]] [[matematický důkaz|dokázal]] v roce [[1914]], že tomu tak není pro všechna čísla – existuje ''n'' přirozené takové, že π(''n'')>''Li''(''n''), a tedy nejmenší takové ''n'' (Littlewood dokázal dokonce více – funkce (π - ''Li'')(''x'') mění v oboru přirozených čísel znaménko [[nekonečno|nekonečněkrát]])<ref>[[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]]. „Sur la distribution des nombres premiers“, ''Comptes Rendus'' 158 (1914), pp. 1869-1872</ref>. Problém Littlewoodova důkazu spočíval v tom, že byl „neefektivní“, tj. nebylo z něj možné určit (ani přibližně) hodnotu tohoto ''n''.
 [[Stanley Skewes]] předvedl první efektivní důkaz v roce [[1933]]<ref>Stanley Skewes: „On the difference π(''x'')&nbsp;−&nbsp;Li(''x'')“, ''Journal of the London Mathematical Society'' '''8''' (1933), pp. 277-283.
-</ref>. Prokázal, že za předpokladu [[Riemannova hypotéza|Riemannovy hypotézy]] je nejmenší ''n'', pro něž π(''n'')>''Li''(''n''), menší než <big>\(\mathrm e^{ \mathrm e^{  \mathrm e^{79} } }</math> (přibližně <big>\(10^{10^{8,85\times 10^{33}} }</math>). Tento horní odhad dostal název Skewesovo číslo (později přejmenované na první Skewesovo číslo).
+</ref>. Prokázal, že za předpokladu [[Riemannova hypotéza|Riemannovy hypotézy]] je nejmenší ''n'', pro něž π(''n'')>''Li''(''n''), menší než <big>\(\mathrm e^{ \mathrm e^{  \mathrm e^{79} } }\)</big> (přibližně <big>\(10^{10^{8,85\times 10^{33}} }\)</big>). Tento horní odhad dostal název Skewesovo číslo (později přejmenované na první Skewesovo číslo).
-V roce [[1955]] se již Skewes dokázal obejít bez dodatečného předpokladu Riemannovy hypotézy, když byl v takovém případě schopen odhadnout velikost ''n'' hodnotou <big>\(10^{10^{10^{1000}}}</math> nazvanou později druhé Skewesovo číslo<ref>Stanley Skewes: „On the difference π(''x'')&nbsp;−&nbsp;Li(''x'') (II)“, ''Proceedings of the London Mathematical Society'' 5 (1955), pp. 48-70.</ref>.
+V roce [[1955]] se již Skewes dokázal obejít bez dodatečného předpokladu Riemannovy hypotézy, když byl v takovém případě schopen odhadnout velikost ''n'' hodnotou <big>\(10^{10^{10^{1000}}}\)</big> nazvanou později druhé Skewesovo číslo<ref>Stanley Skewes: „On the difference π(''x'')&nbsp;−&nbsp;Li(''x'') (II)“, ''Proceedings of the London Mathematical Society'' 5 (1955), pp. 48-70.</ref>.
 == Pozdější vylepšení ==