V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Kvadratický průměr

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Nový článek)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Kvadratický průměr|700}}
+
'''Kvadratický průměr''' je [[statistika|statistická]] veličina představující druhou [[odmocnina|odmocninu]] [[aritmetický průměr|aritmetického průměru]] druhých [[mocnina|mocnin]] daných hodnot.
 +
== Výpočet ==
 +
 +
Matematický zápis výpočtu je následující (<big>\(n\)</big> představuje počet hodnot, <big>\(x_i\)</big> jsou jednotlivé hodnoty):
 +
 +
:<big>\( K= \sqrt {\bar {x^2}} =\sqrt {{1 \over n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} = \sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} \over n} \)</big>
 +
 +
V případě [[spojitá funkce|spojité funkce]] <big>\(f(t)\)</big> lze vypočítat kvadratický průměr neboli střední kvadratickou hodnotu v určitém intervalu <big>\(<t_1, t_2> \)</big> pomocí [[integrál]]u:
 +
 +
:<big>\( K = f_{ef} =\sqrt{\bar {f^2}} = \sqrt{ \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} {f^2(t) \, \mathrm{d}t} } \)</big>
 +
 +
== Vlastnosti ==
 +
 +
Kvadratický průměr je vždy [[nezáporné číslo|nezáporný]] a větší nebo roven [[aritmetický průměr|aritmetickému průměru]]. Rovnost nastává, právě když jsou všechny průměrované hodnoty stejné a nezáporné. To je důsledkem Cauchy-Schwarz-Buňakovského nerovnosti pro [[skalární součin]].
 +
 +
Umocnění hodnot na druhou má za následek větší váhu hodnot vzdálenějších od [[nula|nuly]]. Vzdáleně to připomíná výpočet [[vážený průměr|váženého průměru]].
 +
 +
== Použití ==
 +
 +
Diskrétní verze kvadratického průměru se používá například při výpočtu [[směrodatná odchylka|střední kvadratické odchylky]], ta je kvadratickým průměrem odchylek.
 +
 +
Spojitý kvadratický průměr - střední kvadratická hodnota se používá rovněž ve statistice nebo fyzice, např. při výpočtu střední kvadratické rychlosti molekul plynu nebo při výpočtu [[efektivní hodnota|efektivní hodnoty]] [[střídavé napětí|střídavého napětí]] nebo [[střídavý proud|střídavého proudu]].
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Nerovnosti mezi průměry]]
 +
* [[Aritmetický průměr]]
 +
* [[Geometrický průměr]]
 +
* [[Harmonický průměr]]
 +
* [[Směrodatná odchylka]]
 +
* [[Efektivní hodnota]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Statistika]]
[[Kategorie:Statistika]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Kvadratický průměr je statistická veličina představující druhou odmocninu aritmetického průměru druhých mocnin daných hodnot.

Obsah

Výpočet

Matematický zápis výpočtu je následující (\(n\) představuje počet hodnot, \(x_i\) jsou jednotlivé hodnoty):

\( K= \sqrt {\bar {x^2}} =\sqrt {{1 \over n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} = \sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} \over n} \)

V případě spojité funkce \(f(t)\) lze vypočítat kvadratický průměr neboli střední kvadratickou hodnotu v určitém intervalu \(<t_1, t_2> \) pomocí integrálu:

\( K = f_{ef} =\sqrt{\bar {f^2}} = \sqrt{ \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} {f^2(t) \, \mathrm{d}t} } \)

Vlastnosti

Kvadratický průměr je vždy nezáporný a větší nebo roven aritmetickému průměru. Rovnost nastává, právě když jsou všechny průměrované hodnoty stejné a nezáporné. To je důsledkem Cauchy-Schwarz-Buňakovského nerovnosti pro skalární součin.

Umocnění hodnot na druhou má za následek větší váhu hodnot vzdálenějších od nuly. Vzdáleně to připomíná výpočet váženého průměru.

Použití

Diskrétní verze kvadratického průměru se používá například při výpočtu střední kvadratické odchylky, ta je kvadratickým průměrem odchylek.

Spojitý kvadratický průměr - střední kvadratická hodnota se používá rovněž ve statistice nebo fyzice, např. při výpočtu střední kvadratické rychlosti molekul plynu nebo při výpočtu efektivní hodnoty střídavého napětí nebo střídavého proudu.

Související články


Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Kvadratick%C3%BD_pr%C5%AFm%C4%9Br“