Heavisideova funkce

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

H₁(x)

H_1/2(x)

Heavisideova funkce (také jednotkový skok) je nespojitá funkce, jejíž hodnota je nulová pro zápornou hodnotu argumentu a rovna jedné pro kladnou hodnotu argumentu. Hodnota funkce pro nulový argument není podstatná a proto je různými autory definována odlišně (viz níže).

Často se používá v teorii řízení a při zpracování signálu, kde slouží k reprezentaci jednorázové změny signálu. Pojmenována byla po anglickém učenci Oliveru Heavisideovi.

Definice

Heavisidova funkce (s parametrem p) se definuje předpisem:

\(H_p(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ pro }x<0 \\ p & \mbox{ pro }x=0 \\ 1 & \mbox{ pro }x> 0 \end{matrix}\right.\),

kde 0 ≤ p ≤ 1 je reálné číslo určující hodnotu funkce v bodě 0 (platí \(p = H_p(0)\)).

Index p je většinou volen pevně a v zápise se vynechává. Heavisidova funkce se potom značí pouze H(x).

Hodnota v nule

Parametr \(p\) z definice funkce se nejčastěji volí jako 0, 1/2 nebo 1. Pro hodnotu 1/2 svědčí symetrie výsledné funkce a fakt, že hodnota zpětné transformace Fourierova obrazu funkce v bodech nespojitosti je aritmetický průměr limit zleva a zprava. Důvodem jiné volby může být praktičnost při jistých způsobech použití. V mnoha případech na hodnotě v nule vůbec nezáleží, např. integrujeme-li složený výraz s touto funkcí, neboť Lebesgueova míra množiny \(\{0\}\) je nulová.

Nastavíme-li \(p=H(0)=1/2\), můžeme definovat funkci pomocí znaménkové funkce (signum):

\(H(x) = \frac{1+sgn(x)}{2}\)

Pro případ, kdy \(p=1\) nebo \(p=0\) můžeme též chápat Heavisideovu funkci takto: \(H_1 = \chi_{\langle 0, \infty)}\) respektive \(H_0 = \chi_{(0, \infty)}\) kde \(\chi_M\) značí charakteristickou funkci množiny \(M\).

Vlastnosti

Mezi jednotkovým skokem a Diracovou funkcí existuje vztah, který lze zapsat jako

\(H(x) = \int_{-\infty}^x \delta(t)\mathrm{d}t\)

Derivací Heavisideovy funkce je tedy Diracova delta funkce, primitivní funkcí je tzv. náběhová funkce.

Související články

Externí odkazy

MathWorld, Heaviside Step Function: Mathworld.wolfram.com (anglicky)
MathWorks, Heaviside: Mathworks.com (anglicky)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 8: / Řádka 8: @@
 Heavisidova funkce (s parametrem ''p'') se definuje předpisem:
-:<big>\(H_p(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ pro }x<0 \\ p & \mbox{ pro }x=0 \\ 1 & \mbox{ pro }x> 0 \end{matrix}\right.</math>,
+:<big>\(H_p(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ pro }x<0 \\ p & \mbox{ pro }x=0 \\ 1 & \mbox{ pro }x> 0 \end{matrix}\right.\)</big>,
-kde 0 ≤ ''p'' ≤ 1 je [[reálné číslo]] určující hodnotu funkce v bodě 0 (platí <big>\(p = H_p(0)</math>).
+kde 0 ≤ ''p'' ≤ 1 je [[reálné číslo]] určující hodnotu funkce v bodě 0 (platí <big>\(p = H_p(0)\)</big>).
 Index ''p'' je většinou volen pevně a v zápise se vynechává. Heavisidova funkce se potom značí pouze H(x).
 === Hodnota v nule ===
-Parametr <big>\(p</math> z definice funkce se nejčastěji volí jako 0, 1/2 nebo 1. Pro hodnotu 1/2 svědčí symetrie výsledné funkce a fakt, že hodnota zpětné transformace [[Fourierova transformace|Fourierova obrazu]] funkce v bodech nespojitosti je aritmetický průměr [[limita funkce|limit]] zleva a zprava. Důvodem jiné volby může být praktičnost při jistých způsobech použití. V mnoha případech na hodnotě v nule vůbec nezáleží, např. integrujeme-li složený výraz s touto funkcí, neboť Lebesgueova [[míra (matematika)|míra]] množiny <big>\(\{0\}</math> je nulová.
+Parametr <big>\(p\)</big> z definice funkce se nejčastěji volí jako 0, 1/2 nebo 1. Pro hodnotu 1/2 svědčí symetrie výsledné funkce a fakt, že hodnota zpětné transformace [[Fourierova transformace|Fourierova obrazu]] funkce v bodech nespojitosti je aritmetický průměr [[limita funkce|limit]] zleva a zprava. Důvodem jiné volby může být praktičnost při jistých způsobech použití. V mnoha případech na hodnotě v nule vůbec nezáleží, např. integrujeme-li složený výraz s touto funkcí, neboť Lebesgueova [[míra (matematika)|míra]] množiny <big>\(\{0\}\)</big> je nulová.
-Nastavíme-li <big>\(p=H(0)=1/2</math>, můžeme definovat funkci pomocí znaménkové funkce ([[funkce signum|signum]]):
+Nastavíme-li <big>\(p=H(0)=1/2\)</big>, můžeme definovat funkci pomocí znaménkové funkce ([[funkce signum|signum]]):
-: <big>\(H(x) = \frac{1+sgn(x)}{2}</math>
+: <big>\(H(x) = \frac{1+sgn(x)}{2}\)</big>
-Pro případ, kdy <big>\(p=1</math> nebo <big>\(p=0</math> můžeme též chápat Heavisideovu funkci takto: <big>\(H_1 = \chi_{\langle 0, \infty)}</math> respektive <big>\(H_0 = \chi_{(0, \infty)}</math> kde <big>\(\chi_M</math> značí [[Charakteristická funkce|charakteristickou funkci]] množiny <big>\(M</math>.
+Pro případ, kdy <big>\(p=1\)</big> nebo <big>\(p=0\)</big> můžeme též chápat Heavisideovu funkci takto: <big>\(H_1 = \chi_{\langle 0, \infty)}\)</big> respektive <big>\(H_0 = \chi_{(0, \infty)}\)</big> kde <big>\(\chi_M\)</big> značí [[Charakteristická funkce|charakteristickou funkci]] množiny <big>\(M\)</big>.
 == Vlastnosti ==
 Mezi jednotkovým skokem a [[Diracovo delta|Diracovou funkcí]] existuje vztah, který lze zapsat jako
-:<big>\(H(x) = \int_{-\infty}^x \delta(t)\mathrm{d}t</math>
+:<big>\(H(x) = \int_{-\infty}^x \delta(t)\mathrm{d}t\)</big>
 Derivací Heavisideovy funkce je tedy Diracova delta funkce, primitivní funkcí je tzv. [[náběhová funkce]].