V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Eulerův vzorec
Z Multimediaexpo.cz
(Rozdíly mezi verzemi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 1: | Řádka 1: | ||
[[Soubor:Euler's formula.png|thumb|right|300px|Eulerův vzorec pro libovolný úhel.]] | [[Soubor:Euler's formula.png|thumb|right|300px|Eulerův vzorec pro libovolný úhel.]] | ||
'''Eulerův vzorec''' určuje vztah mezi [[goniometrická funkce|goniometrickými funkcemi]] a [[exponenciální funkce|exponenciální funkcí]]: | '''Eulerův vzorec''' určuje vztah mezi [[goniometrická funkce|goniometrickými funkcemi]] a [[exponenciální funkce|exponenciální funkcí]]: | ||
| - | :<big>\(e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!</ | + | :<big>\(e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!\)</big> |
== Význam vzorce == | == Význam vzorce == | ||
| Řádka 8: | Řádka 8: | ||
Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné: | Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné: | ||
| - | :<big>\(f(x) = e^{x}</ | + | :<big>\(f(x) = e^{x}\)</big> |
Ze znalosti [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] víme, že: | Ze znalosti [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] víme, že: | ||
| - | :<big>\(e^{x} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...</ | + | :<big>\(e^{x} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...\)</big> |
Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem: | Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem: | ||
| - | :<big>\(e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} + \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...</ | + | :<big>\(e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} + \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...\)</big> |
Dosaďme za exponent '''ix''': | Dosaďme za exponent '''ix''': | ||
| - | :<big>\(e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...</ | + | :<big>\(e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...\)</big> |
Nyní mírně přerovnejme sčítance | Nyní mírně přerovnejme sčítance | ||
| - | :<big>\(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)</ | + | :<big>\(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)\)</big> |
Ze druhé části vytkněme '''i''': | Ze druhé části vytkněme '''i''': | ||
| - | :<big>\(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)</ | + | :<big>\(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)\)</big> |
Teď se '''i''' vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit: | Teď se '''i''' vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit: | ||
| - | :<big>\(e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)</ | + | :<big>\(e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)\)</big> |
Ze znalosti [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus: | Ze znalosti [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus: | ||
| - | :<big>\(e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)</ | + | :<big>\(e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)\)</big> |
Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení. | Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení. | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51
Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:
- \(e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!\)
Význam vzorce
Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu Komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.
Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:
- \(f(x) = e^{x}\)
Ze znalosti Taylorovy řady víme, že:
- \(e^{x} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...\)
Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem:
- \(e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} + \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...\)
Dosaďme za exponent ix:
- \(e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...\)
Nyní mírně přerovnejme sčítance
- \(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)\)
Ze druhé části vytkněme i:
- \(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)\)
Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit:
- \(e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)\)
Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:
- \(e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)\)
Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |