Eisensteinovo kritérium

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Eisensteinovo kritérium nerozložitelnosti je v matematice, zejména v jejím podoboru algebře, postačující, ale nikoliv nutnou podmínkou pro nerozložitelnost polynomu s celočíselnými koeficienty v racionálních číslech.

Kritérium je pojmenováno po německém matematikovi Gottholdu Eisensteinovi, který jej zveřejnil v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik v roce 1850. Někdy se také nazývá Schönemannovo kritérium nebo Eisensteinovo-Schönemannovo kritérium, protože německý matematik Theodor Schönemann zveřejnil ve stejném časopise jinou formulaci tohoto kritéria už v roce 1846.

Moderní formulace kritéria

Celočíselné polynomy

Nechť je \(f(x)\) mnohočlen stupně \(n\) s koeficienty z oboru celých čísel, tedy \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\), a nechť existuje prvočíslo \(p\) takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho čtverec také nedělí konstantní koeficient, tedy:

\(p \mid a_i\) pro všechna \(i < n\),
\(p^2 \nmid a_0\) a
\(p \nmid a_n\),

pak je mnohočlen \(f(x)\) ireducibilní v oboru \(\mathbb{Q}[x]\), tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.^[1]

Jiná možná formulace podmínky ohledně dělitelnosti vedoucího koeficientu uvažuje pouze normovaný polynom, tedy s vedoucím koeficientem rovným jedné.^[2]

Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty

Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny zlomky: Nechť je \(f(x)=\frac{b_n}{c_n}x^n+\cdots+\frac{b_1}{c_1}x+\frac{b_0}{c_0}\), kde zlomky jsou v základním tvaru, tedy největší společný dělitel \(NSD(b_i,c_i)\) je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo \(p\) takové, že

\(p\) dělí \(b_k\) pro \(k\le n\),
\(p\) nedělí \(b_n\) a \(c_n\) a
\(p^2\) nedělí \(b_0\).

Pak je \(f(x)\) nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.^[3]

Zobecnění pro gaussovské obory

Nechť je \(R\) Gaussův obor integrity a \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu \(R[x]\). Pak pokud je \(f(x)\) primitivní a existuje ireducibilní prvek \(p\in R\) splňující

\(p \mid a_i\) pro všechna \(i<n\),
\(p^2 \nmid a_0\) a

pak je polynom \(f(x)\) v \(R[x]\) ireducibilní.^[4]

Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů

Nechť je \(R\) obor integrity a \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu \(R[x]\). Pokud existuje v oboru \(R\) prvoideál \(P\) takový, že

\(a_i \in P\) pro všechna \(i < n \),
\(a_n\notin P\) a
\(a_0 \notin P^2\) (\(P^2\) je součin ideálu \(P\) s ním samým),

pak nelze zapsat \(f(x)\) jako součin dvou nekonstantních polynomů v \(R[x]\). Je-li navíc \(f(x)\) primitivním polynomem, tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v \(R[x]\). Pokud je \(R\) Gaussův obor integrity a jeho podílovým tělesem je \(T\), pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z \(R\) jsou v \(T\) jednotkami).

Reference

↑ VLADIMÍR, Kořínek. Základy algebry. Praha : Nakladatelství Československé akademie věd, 1953.
↑ MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett. Algebra. Překlad Anton Legéň, Jaroslav Smítal. Bratislava : Alfa, 1974. (slovensky)
↑ HANČL, Jaroslav; NOVOTNÝ, Lukáš; ŠUSTEK, Jan. 21. ročník Mezinárodní matematické soutěže Vojtěcha Jarníka. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 2011, roč. 56, čís. 3. Dostupné online.
↑ STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha : Matfyzpress, 2010. ISBN 978-80-7378-105-7.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[Ko.C5.99.C3.ADnek-0] VLADIMÍR, Kořínek. Základy algebry. Praha : Nakladatelství Československé akademie věd, 1953.

[MacLane_Birkhoff-1] MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett. Algebra. Překlad Anton Legéň, Jaroslav Smítal. Bratislava : Alfa, 1974. (slovensky)

[2] HANČL, Jaroslav; NOVOTNÝ, Lukáš; ŠUSTEK, Jan. 21. ročník Mezinárodní matematické soutěže Vojtěcha Jarníka. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 2011, roč. 56, čís. 3. Dostupné online.

[Stanovsk.C3.BD-3] STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha : Matfyzpress, 2010. ISBN 978-80-7378-105-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Řádka 6: / Řádka 6: @@
 === Celočíselné polynomy ===
-Nechť je <big>\(f(x)</math> [[polynom|mnohočlen]] [[stupeň polynomu|stupně]] <big>\(n</math> s koeficienty z oboru [[celé číslo|celých čísel]], tedy <big>\(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math>, a nechť existuje [[prvočíslo]] <big>\(p</math> takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho [[čtverec (číslo)|čtverec]] také nedělí konstantní koeficient, tedy:
+Nechť je <big>\(f(x)\)</big> [[polynom|mnohočlen]] [[stupeň polynomu|stupně]] <big>\(n\)</big> s koeficienty z oboru [[celé číslo|celých čísel]], tedy <big>\(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\)</big>, a nechť existuje [[prvočíslo]] <big>\(p\)</big> takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho [[čtverec (číslo)|čtverec]] také nedělí konstantní koeficient, tedy:
-* <big>\(p \mid a_i</math> pro všechna <big>\(i < n</math>,
+* <big>\(p \mid a_i\)</big> pro všechna <big>\(i < n\)</big>,
-* <big>\(p^2 \nmid a_0</math> a
+* <big>\(p^2 \nmid a_0\)</big> a
-* <big>\(p \nmid a_n</math>,
+* <big>\(p \nmid a_n\)</big>,
-pak je mnohočlen <big>\(f(x)</math> [[ireducibilní polynom|ireducibilní]] v oboru <big>\(\mathbb{Q}[x]</math>, tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.<ref name="Kořínek"> {{Citace monografie
+pak je mnohočlen <big>\(f(x)\)</big> [[ireducibilní polynom|ireducibilní]] v oboru <big>\(\mathbb{Q}[x]\)</big>, tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.<ref name="Kořínek"> {{Citace monografie
   | příjmení = Vladimír
   | jméno = Kořínek
@@ Řádka 41: / Řádka 41: @@
 === Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty ===
-Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny [[zlomek|zlomky]]: Nechť je <big>\(f(x)=\frac{b_n}{c_n}x^n+\cdots+\frac{b_1}{c_1}x+\frac{b_0}{c_0}</math>, kde zlomky jsou v [[základní tvar zlomku|základním tvaru]], tedy [[největší společný dělitel]] <big>\(NSD(b_i,c_i)</math> je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo <big>\(p</math> takové, že
+Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny [[zlomek|zlomky]]: Nechť je <big>\(f(x)=\frac{b_n}{c_n}x^n+\cdots+\frac{b_1}{c_1}x+\frac{b_0}{c_0}\)</big>, kde zlomky jsou v [[základní tvar zlomku|základním tvaru]], tedy [[největší společný dělitel]] <big>\(NSD(b_i,c_i)\)</big> je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo <big>\(p\)</big> takové, že
-* <big>\(p</math> dělí <big>\(b_k</math> pro <big>\(k\le n</math>,
+* <big>\(p\)</big> dělí <big>\(b_k\)</big> pro <big>\(k\le n\)</big>,
-* <big>\(p</math> nedělí <big>\(b_n</math> a <big>\(c_n</math> a
+* <big>\(p\)</big> nedělí <big>\(b_n\)</big> a <big>\(c_n\)</big> a
-* <big>\(p^2</math> nedělí <big>\(b_0</math>.
+* <big>\(p^2\)</big> nedělí <big>\(b_0\)</big>.
-Pak je <big>\(f(x)</math> nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.<ref>{{Citace periodika
+Pak je <big>\(f(x)\)</big> nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.<ref>{{Citace periodika
   | příjmení = Hančl
   | jméno = Jaroslav
@@ Řádka 65: / Řádka 65: @@
 === Zobecnění pro gaussovské obory ===
-Nechť je <big>\(R</math> [[Gaussův obor integrity]] a <big>\(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math> mnohočlen z jeho [[polynomiální okruh|polynomiálního okruhu]] <big>\(R[x]</math>. Pak pokud je <big>\(f(x)</math> [[primitivní polynom|primitivní]] a existuje [[ireducibilní prvek]] <big>\(p\in R</math> splňující
+Nechť je <big>\(R\)</big> [[Gaussův obor integrity]] a <big>\(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\)</big> mnohočlen z jeho [[polynomiální okruh|polynomiálního okruhu]] <big>\(R[x]\)</big>. Pak pokud je <big>\(f(x)\)</big> [[primitivní polynom|primitivní]] a existuje [[ireducibilní prvek]] <big>\(p\in R\)</big> splňující
-* <big>\(p \mid a_i</math> pro všechna <big>\(i<n</math>,
+* <big>\(p \mid a_i\)</big> pro všechna <big>\(i<n\)</big>,
-* <big>\(p^2 \nmid a_0</math> a
+* <big>\(p^2 \nmid a_0\)</big> a
-pak je polynom <big>\(f(x)</math> v <big>\(R[x]</math> ireducibilní.<ref name="Stanovský">{{Citace monografie
+pak je polynom <big>\(f(x)\)</big> v <big>\(R[x]\)</big> ireducibilní.<ref name="Stanovský">{{Citace monografie
   | příjmení = Stanovský
   | jméno = David
@@ Řádka 86: / Řádka 86: @@
 === Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů ===
-Nechť je <big>\(R</math> [[obor integrity]] a <big>\(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math> mnohočlen z jeho [[polynomiální okruh|polynomiálního okruhu]] <big>\(R[x]</math>. Pokud existuje v oboru <big>\(R</math> [[prvoideál (teorie okruhů)|prvoideál]] <big>\(P</math> takový, že
+Nechť je <big>\(R\)</big> [[obor integrity]] a <big>\(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\)</big> mnohočlen z jeho [[polynomiální okruh|polynomiálního okruhu]] <big>\(R[x]\)</big>. Pokud existuje v oboru <big>\(R\)</big> [[prvoideál (teorie okruhů)|prvoideál]] <big>\(P\)</big> takový, že
-* <big>\(a_i \in P</math> pro všechna <big>\(i < n </math>,
+* <big>\(a_i \in P\)</big> pro všechna <big>\(i < n \)</big>,
-* <big>\(a_n\notin P</math> a
+* <big>\(a_n\notin P\)</big> a
-* <big>\(a_0 \notin P^2</math> (<big>\(P^2</math> je [[součin ideálů|součin ideálu]] <big>\(P</math> s ním samým),
+* <big>\(a_0 \notin P^2\)</big> (<big>\(P^2\)</big> je [[součin ideálů|součin ideálu]] <big>\(P\)</big> s ním samým),
-pak nelze zapsat <big>\(f(x)</math> jako součin dvou nekonstantních polynomů v <big>\(R[x]</math>. Je-li navíc <big>\(f(x)</math> [[primitivní polynom|primitivním polynomem]], tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v <big>\(R[x]</math>. Pokud je <big>\(R</math> [[Gaussův obor integrity]] a jeho [[podílové těleso|podílovým tělesem]] je <big>\(T</math>, pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z <big>\(R</math> jsou v <big>\(T</math> jednotkami).
+pak nelze zapsat <big>\(f(x)\)</big> jako součin dvou nekonstantních polynomů v <big>\(R[x]\)</big>. Je-li navíc <big>\(f(x)\)</big> [[primitivní polynom|primitivním polynomem]], tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v <big>\(R[x]\)</big>. Pokud je <big>\(R\)</big> [[Gaussův obor integrity]] a jeho [[podílové těleso|podílovým tělesem]] je <big>\(T\)</big>, pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z <big>\(R\)</big> jsou v <big>\(T\)</big> jednotkami).
 == Reference ==