Aritmetická posloupnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde je stálý rozdíl mezi sousedními členy. Tento rozdíl mezi libovolným členem kromě prvního a předcházejícím členem se obvykle značí d a nazývá diference.

Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci definovanou v oboru přirozených čísel a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Vzorce

V následujících vzorcích označuje \(a_n\) n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.

Rekurentní zadání

\(\, a_{n+1} = a_n + d \)

Zadání vzorcem pro n-tý člen

\( a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d \)

Vyjádření r-tého členu z s-tého

\( a_r = a_s + (r-s)\cdot d \)

Součet prvních n členů

\(s_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} = n a_1 + \frac{1}{2}n (n-1)d\)

Příklad

Například je-li \(a_1 = -5\) a \(d = 3\), pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, …

Souvislost s aritmetickým průměrem

Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je aritmetickým průměrem obou sousedních členů:

\(\ a_n = \frac {a_{n-1}+ a_{n+1}}{2}\)

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost (důkaz např. matematickou indukcí).

Souvislost s geometrickou posloupností

Je-li posloupnost \(a_n\) aritmetická, tak je posloupnost \(b^{a_n}\) geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Je-li posloupnost \(g_n\) geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost \(\quad \log_b g_n\) aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Aritmetická řada

Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako aritmetická řada. Není však moc zajímavý, protože kromě případu posloupnosti samých nul je řada divergentní.

Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

\(\lim_{n \to \infty} s_n = \pm \infty\),

kde kladné znaménko platí pro \(d>0\) anebo \(d=0, a_1>0\) a záporné pro \(d<0\) anebo \(d=0, a_1<0\).

Pro \(a_1=d=0\) je součet samozřejmě

\(\lim_{n \to \infty} s_n = 0.\)

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 4: / Řádka 4: @@
 == Vzorce ==
-V následujících vzorcích označuje <math>a_n</math> ''n''-tý člen aritmetické posloupnosti a ''d'' její diferenci.
+V následujících vzorcích označuje <big>\(a_n\)</big> ''n''-tý člen aritmetické posloupnosti a ''d'' její diferenci.
 === Rekurentní zadání ===
-* <math>\, a_{n+1} = a_n + d </math>
+* <big>\(\, a_{n+1} = a_n + d \)</big>
 === Zadání vzorcem pro ''n''-tý člen ===
-* <math> a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d </math>
+* <big>\( a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d \)</big>
 === Vyjádření ''r''-tého členu z ''s''-tého ===
-* <math> a_r = a_s + (r-s)\cdot d </math>
+* <big>\( a_r = a_s + (r-s)\cdot d \)</big>
 === Součet prvních ''n'' členů ===
-* <math>s_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} = n a_1 + \frac{1}{2}n (n-1)d</math>
+* <big>\(s_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} = n a_1 + \frac{1}{2}n (n-1)d\)</big>
 == Příklad ==
-Například je-li <math>a_1 = -5</math> a <math>d = 3</math>, pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, …
+Například je-li <big>\(a_1 = -5\)</big> a <big>\(d = 3\)</big>, pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, …
 == Souvislost s aritmetickým průměrem ==
@@ Řádka 26: / Řádka 26: @@
 Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je [[aritmetický průměr|aritmetickým průměrem]] obou sousedních členů:
-<math>\ a_n = \frac {a_{n-1}+ a_{n+1}}{2}</math>
+<big>\(\ a_n = \frac {a_{n-1}+ a_{n+1}}{2}\)</big>
 Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost (důkaz např. matematickou indukcí).
@@ Řádka 32: / Řádka 32: @@
 == Souvislost s geometrickou posloupností ==
-Je-li posloupnost <math>a_n</math> aritmetická, tak je posloupnost <math>b^{a_n}</math> geometrická (pro libovolný základ b≥0).
+Je-li posloupnost <big>\(a_n\)</big> aritmetická, tak je posloupnost <big>\(b^{a_n}\)</big> geometrická (pro libovolný základ b≥0).
-Je-li posloupnost <math>g_n</math> geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost <math>\quad \log_b g_n</math> aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).
+Je-li posloupnost <big>\(g_n\)</big> geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost <big>\(\quad \log_b g_n\)</big> aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).
 == Aritmetická řada ==
@@ Řádka 40: / Řádka 40: @@
 Součet aritmetické řady je dán jako [[limita posloupnosti|limita]] posloupnosti [[#Součet prvních \'\'n\'\' členů|''n''-tých částečných součtů]]. Platí tedy
-:<math>\lim_{n \to \infty} s_n = \pm \infty</math>,
+:<big>\(\lim_{n \to \infty} s_n = \pm \infty\)</big>,
-kde kladné znaménko platí pro <math>d>0</math> anebo <math>d=0, a_1>0</math> a záporné pro <math>d<0</math> anebo <math>d=0,  a_1<0</math>.
+kde kladné znaménko platí pro <big>\(d>0\)</big> anebo <big>\(d=0, a_1>0\)</big> a záporné pro <big>\(d<0\)</big> anebo <big>\(d=0,  a_1<0\)</big>.
-Pro <math>a_1=d=0</math> je součet samozřejmě
+Pro <big>\(a_1=d=0\)</big> je součet samozřejmě
-:<math>\lim_{n \to \infty} s_n = 0.</math>
+:<big>\(\lim_{n \to \infty} s_n = 0.\)</big>
 == Související články ==