Eulerův vzorec

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:

\(e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!</math>

Význam vzorce

Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu Komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.

Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:

\(f(x) = e^{x}</math>

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že:

\(e^{x} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...</math>

Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem:

\(e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} + \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...</math>

Dosaďme za exponent ix:

\(e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...</math>

Nyní mírně přerovnejme sčítance

\(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)</math>

Ze druhé části vytkněme i:

\(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)</math>

Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit:

\(e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)</math>

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:

\(e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)</math>

Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
 [[Soubor:Euler's formula.png|thumb|right|300px|Eulerův vzorec pro libovolný úhel.]]
 '''Eulerův vzorec''' určuje vztah mezi [[goniometrická funkce|goniometrickými funkcemi]] a [[exponenciální funkce|exponenciální funkcí]]:
-:<math>e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!</math>
+:<big>\(e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!</math>
 == Význam vzorce ==
@@ Řádka 8: / Řádka 8: @@
 Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:
-:<math>f(x) = e^{x}</math>
+:<big>\(f(x) = e^{x}</math>
 Ze znalosti [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] víme, že:
-:<math>e^{x} = \frac{x^0}{0!} +  \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...</math>
+:<big>\(e^{x} = \frac{x^0}{0!} +  \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...</math>
 Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem:
-:<math>e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} +  \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...</math>
+:<big>\(e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} +  \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...</math>
 Dosaďme za exponent '''ix''':
-:<math>e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} +  \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...</math>
+:<big>\(e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} +  \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...</math>
 Nyní mírně přerovnejme sčítance
-:<math>e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} +  \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)</math>
+:<big>\(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} +  \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)</math>
 Ze druhé části vytkněme '''i''':
-:<math>e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} +  \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)</math>
+:<big>\(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} +  \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)</math>
 Teď se '''i''' vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit:
-:<math>e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} -  \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)</math>
+:<big>\(e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} -  \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)</math>
 Ze znalosti [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:
-:<math>e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)</math>
+:<big>\(e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)</math>
 Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.