Zlatý prostorový úhel

'''Zlatý prostorový úhel''' se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:

:<big>\(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}\)</big> - mysleno v steradiánech

:<big>\(\alpha + \beta = 4 \pi\)</big>

==Výpočet==
{{RIGHTTOC}}
=== Výpočet užitím zlatého řezu ===
Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným [[zlatý řez]] (<big>\( \varphi = \frac {1+ \sqrt 5}{2}\)</big>), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:
:<big>\(\beta = \varphi\alpha\)</big>

:<big>\(4 \pi = \varphi\beta\)</big>

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

:<big>\(4 \pi = \varphi^2\alpha\)</big> 

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:

:<big>\(\frac {4 \pi} {\varphi^2} = \alpha \)</big>

===Výpočet bez znalosti zlatého řezu===
Pokud nevíme o existenci [[zlatý řez|zlatého řezu]] nebo jeho souvislosti se zlatým prostorovým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého prostorového úhlu jinak.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

:<big>\(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}\)</big>

:<big>\(\alpha + \beta = 4 \pi\)</big>

Z druhé rovnice vyjádříme ''&beta;'' a dosadíme jej do první rovnice.

:<big>\(\beta = 4\pi - \alpha\)</big>

:<big>\(\frac{\alpha}{4\pi - \alpha} = \frac{4\pi - \alpha}{4\pi}\)</big>

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

:<big>\(4 \pi \alpha = 16 \pi^2 - 8 \pi \alpha + \alpha^2\)</big>

:<big>\(0 = 16 \pi^2 - 12 \pi \alpha + \alpha^2\)</big>

A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny ''&alpha;<sub>1</sub>'' a ''&alpha;<sub>2</sub>''.

:<big>\(\alpha_{1,2} = \frac {12 \pi \pm \sqrt {80} \pi} {32}\)</big>

:<big>\(\alpha_{1} = \frac {12 \pi + \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\sqrt {14} \pi}{8}\)</big>

:<big>\(\alpha_{2} = \frac {12 \pi - \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\pi}{4}\)</big>

==Související články==
* [[Zlatý řez]]
* [[Zlatý úhel]]
* [[Prostorový úhel]]


{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Prostorové geometrické útvary]]