Kosinus

[[Soubor:Cos-2007.png|thumb|240px|Graf funkce kosinus]]
'''Kosinus''' je [[goniometrická funkce]].

Pro označení této [[Funkce (matematika)|funkce]] se obvykle používá značka ''cos'' doplněná značkou nezávisle proměnné (zpravidla úhlu).

V&nbsp;[[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlém trojúhelníku]] bývá definována jako poměr přilehlé odvěsny a přepony. Definici lze konzistentně rozšířit jak na celá reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.

[[graf (funkce)|Grafem]] kosinu v reálném oboru je '''kosinusoida''' (posunutá sinusoida).

== Kosinus na jednotkové kružnici ==
[[Soubor: Circle cos2.png|thumb|240px| Kosinus ''α'' na jednotkové kružnici]]
Kosinus se jednoduše definuje na [[jednotková kružnice|jednotkové kružnici]] (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li ''α'' úhel, který má počáteční rameno v kladné poloose ''x'' a je [[Úhel#Orientovaný úhel|orientovaný]] od kladné poloosy ''x'' proti směru hodinových ručiček), je '''cos ''α''''' roven ''x''-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu ''α'', jinak řečeno, rovná se (v absolutní hodnotě) délce úsečky z počátku k patě [[kolmice]] spuštěné z tohoto průsečíku na osu ''x''.
Délce této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) ''y''-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu ''α'', je pak roven [[sinus|sin]] ''α''.

Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí [[Pythagorova věta]], takže platí:
:(sin ''α'')<sup>2</sup> + (cos ''α'')<sup>2</sup> = 1.
Na jednotkové kružnici je také vidět, že kosinus je v prvním a čtvrtém [[Kvadrant (geometrie)|kvadrantu]] nezáporný (≥ 0), kdežto ve druhém a třetím nekladný (≤ 0). V prvním a druhém kvadrantu je klesající, ve třetím a čtvrtém rostoucí.

[[Úhel#Orientovaný úhel|Orientovaný úhel]] lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem <big>\(\alpha+k \cdot 2\pi\)</big> v úhlové míře resp. <big>\(\alpha+k \cdot 360^\circ\)</big> v míře stupňové, kde <big>\(k\)</big> je [[celé číslo]]. Kosinus lze tedy konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel:

== Kosinus v reálném oboru ==
Funkce <big>\(y=\cos x\,\!\)</big> má následující vlastnosti (kde ''k'' je libovolné [[celé číslo]]):
* [[Definiční obor]]: <big>\(\mathbb{R}\)</big> ([[reálné číslo|reálná čísla]])
* [[Obor hodnot]]: <big>\(\langle-1;1\rangle\)</big>
* [[Rostoucí funkce|Rostoucí]]: v každém intervalu <big>\(\left(\pi+2k\pi, 2 \pi + 2k\pi\right)\)</big>
* [[Klesající funkce|Klesající]]: v každém intervalu <big>\(\left(2k\pi, \pi+2k\pi\right)\)</big>
* [[Maximum]]: +1 v bodech <big>\(2k\pi\)</big>
* [[Minimum]]: −1 v bodech <big>\(\pi+2k\pi\)</big>
* [[Derivace]]: <big>\(y'=-\sin x\,\!\)</big>
* [[Integrál]]: <big>\(\int \cos x\, \mathrm{d}x = \sin x + c\)</big>
* [[Taylorův polynom]]: <big>\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x^{2})^{n}}{(2n)!}\)</big>
* [[Inverzní zobrazení|Inverzní funkce]] (na intervalu <big>\(\langle -1;1\rangle\)</big> a oborem hodnot <big>\(\textstyle\left\langle 0, \pi \right\rangle\)</big>: [[Arkus kosinus]] (''arccos'')
* [[Kosinus dvojnásobného argumentu]]: <big>\(\cos (2x) = \cos^2 x - \sin^2 x\)</big>
* je:
** [[sudá funkce|sudá]]
** [[Omezená funkce|omezená shora i zdola]]
** [[periodická funkce|periodická]] s&nbsp;periodou <big>\(2k\pi\)</big>

== Kosinus v komplexním oboru ==
[[Funkce (matematika)|Funkce]] kosinus je v [[komplexní číslo|komplexních číslech]] definována součtem [[řada (matematika)|řady]]

:<big>\(\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}\)</big>

která konverguje na celé [[komplexní rovina|komplexní rovině]]. Pro každá dvě komplexní čísla ''z''<sub>1</sub>,''z''<sub>2</sub> platí:

:<big>\(\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\)</big>
:<big>\(\cos\left(z_1+z_2\right)=\cos z_1 \cos z_2 - \sin z_1 \sin z_2,\)</big>
:<big>\(\cos iz = \cosh z,\,\)</big>

Tyto [[vzorec|vzorce]] plynou přímo z příslušných definičních [[mocninná řada|mocninných řad]] daných [[Funkce (matematika)|funkcí]]. Kosinus je na celé [[komplexní rovina|komplexní rovině]] [[jednoznačná funkce|jednoznačná]] [[holomorfní funkce|holomorfní]] funkce.

== Související články ==
* [[Goniometrie]]
* [[Kosinová věta]]

== Externí odkazy ==

{{Commonscat|Cosine function}}{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Goniometrické funkce]]