Počáteční podmínky

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Počáteční úloha''' (také '''[[Cauchyho úloha]]''' nebo '''problém počáteční hodnoty''') je v [[matematika|matematice]] v oboru [[diferenciální rovnice|diferenciálních rovnic]] hledání takového řešení [[obyčejná diferenciální rovnice|obyčejné diferenciální rovnice]], které vyhovuje '''počáteční podmínce'''. Počáteční podmínka stanovuje, jaké hodnoty musí mít neznámá funkce (případně i její derivace) v určitém bodě definičního oboru. Za '''modelování systému''' se ve [[fyzika|fyzice]] a jiných vědách obvykle považuje vyřešení počáteční úlohy. Diferenciální rovnici lze v tomto případě považovat za rovnici vývoje, která udává, jak se bude systém z daných počátečních podmínek vyvíjet v čase. == Definice == '''Počáteční úloha''' je zadána diferenciální rovnicí :<big>\(y'(t) = f(t, y(t)) \,\)</big>, kde <big>\( f: \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\)</big> pro otevřenou množinu <big>\(\Omega \,\)</big>, která je podmnožinou <big>\(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n\)</big>, a bodem v definičním oboru funkce :<big>\((t_0, y_0) \in \Omega,\)</big> nazývaným '''počáteční podmínka'''. '''Řešením''' počáteční úlohy je taková funkce ''y'', která je řešením diferenciální rovnice a vyhovuje podmínce :<big>\(y(t_0) = y_0. \,\)</big> Ve vyšší dimenzi se místo jedné diferenciální rovnice uvažuje soustava rovnic <big>\(y_i'(t)=f_i(t, y_1(t), y_2(t), ...)\)</big> a <big>\(y(t)\)</big> se bere jako vektor <big>\((y_1(t), ..., y_n(t))\)</big>. Obecně mohou být podmínky pro neznámou funkci ''y'' hodnoty v nekonečněrozměrném prostoru, jakým je&nbsp;například&nbsp;[[Banachův prostor]] nebo prostor [[Distribuce (matematika)|distribucí]]. Použitím derivací v podmínce lze problém počáteční hodnoty rozšířit na vyšší řády, například <big>\(y''(t)=f(t,y(t),y'(t))\)</big>. == Existence a jednoznačnost řešení == Pro velkou třídu počátečních úloh lze existenci a jednoznačnost řešení ilustrovat pomocí kalkulátoru. [[Picardova–Lindelöfova věta]] zaručuje jednoznačnost řešení na nějakém intervalu obsahujícím ''t''₀ pro ƒ spojitou na oblasti obsahující bod ''t''₀ a ''y''₀, pokud funkce vyhovuje [[Lipschitzovsky spojité zobrazení|Lipschitzově podmínce]] pro proměnnou ''y''. Důkaz této věty se provádí přeformulováním problému jako ekvivalentu [[integrální rovnice]]. Integrál může být považován operátor, který zobrazuje jednu funkci na jinou tak, že řešení je [[pevný bod|pevným bodem]] operátoru. Pak se použije [[Banachova věta o pevném bodě]] pro důkaz, že existuje jediný pevný bod, který je řešením počáteční úlohy. Ve starším důkazu Picardovy–Lindelöfovy věta se konstruuje posloupnost funkcí, která konverguje k řešení integrální rovnice a tedy k řešení počáteční úlohy. Tato konstrukce se někdy nazývá „Picardova metoda“ nebo „metoda postupných aproximací“. Jedná se vlastně o speciální případ [[Banachova věta o pevném bodě|Banachovy věty o pevném bodě]]. Hiroshi Okamura získal [[Nutná a postačující podmínka|nutnou a postačující podmínku]], aby bylo řešení počáteční úlohy jednoznačné. Tato podmínka využívá existenci soustavy [[Ljapunova funkce|Ljapunových funkcí]]. Ne vždy však je funkce ƒ [[Hladká funkce|hladká]] (třídy ''C''¹) nebo dokonce [[Lipschitzovsky spojité zobrazení|Lipschitzovská]], takže lokální existence jednoznačného řešení není zaručena. Podle [[Peanova existenční věta|Peanovy existenční věty]] však spojitost funkce ƒ postačuje, aby řešení existovalo lokálně v čase; problémem je, že neexistuje záruka jednoznačnosti; výsledek lze nalézt v Coddington & Levinson (1955, Věta 1.3) nebo Robinson (2001, Věta 2.6). Ještě obecnější [[Carathéodoryho existenční věta]] zaručuje existenci řešení i pro některé nespojité funkce ƒ. == Příklady == ;První příklad Řešíme rovnici <big>\(y' = 0.85 y\)</big> s počáteční podmínkou <big>\(y(0) = 19\)</big>. Hledáme funkci <big>\(y(t)\)</big>, která vyhovuje oběma rovnicím. Nejdříve zapíšeme <big>\(y'\)</big> jako <big>\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\)</big>: : <big>\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 0.85 y\)</big> pak přeuspořádáme rovnici, aby <big>\(y\)</big> bylo na jedné a <big>\(t\)</big> na druhé straně: : <big>\(\frac{\mathrm{d}y}{y} = 0.85\mathrm{d}t\)</big> a obě strany zintegrujeme (což vnáší [[integrační konstanta|integrační konstantu]] <big>\(B\)</big>): : <big>\(\ln | y | = 0.85t + B \)</big> aplikujeme inverzní funkci k logaritmu: : <big>\( | y | = e^Be^{0.85t} \)</big> zavedeme novou integrační konstantu <big>\(C = \pm e^B\)</big>: : <big>\( y = Ce^{0.85t} \)</big>. Nyní potřebujeme nalézt hodnotu <big>\(C\)</big>. Podle počáteční podmínky <big>\(y(0) = 19\)</big> a dosadíme za <big>\(t\)</big> 0 a za <big>\(y\)</big> 19 : <big>\( 19 = C e^{0.85 * 0}\)</big> : <big>\( C = 19 \)</big> Výsledné řešení je <big>\( y(t) = 19e^{0.85t}\)</big>. ;Druhý příklad Řešením diferenciální rovnice s počáteční podmínkou : <big>\(y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3\)</big> je funkce : <big>\(y(t)=2e^{-3t}+2t+1. \,\)</big> což lze ověřit dosazením : <big>\( \begin{align} y'+3y &= \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1) \\ &= (-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3) \\ &= 6t+5.\end{align} \)</big> == Související články == * [[Okrajová úloha]] * [[Integrační konstanta]] * [[Integrální křivka]] == Reference == <div class="references-small"> * {{Citace monografie | autor = Coddington, Earl. a Levinson, Norman | titul = Theory of ordinary differential equations | vydavatel = McGraw-Hill Book Company, Inc. | místo = New York-Toronto-London | rok=1955 }} * {{Citace monografie | autor = Morris W. Hirsch a Stephen Smale | titul = Differential equations, dynamical systems, and linear algebra | vydavatel = Academic Press | místo = New York-London | rok=1974 }} * {{Citace periodika | příjmení = Okamura | jméno = Hirosi | titul = Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano | periodikum = Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. | svazek = 24 | rok=1942 | jazyk = French | strana = 21-28 }} * {{Citace monografie | autor = Agarwal, Ravi P. a Lakshmikantham, V. | titul = Uniqueness a Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations | url=http://books.google.com/books?id=q4OkW4H8BCUC | edice = Series in real analysis | svazek = 6 | rok=1993 | vydavatel = World Scientific | isbn=978-981-02-1357-2}} * {{Citace monografie | autor = Polyanin, Andrei D. a Zaitsev, Valentin F. | titul = Handbook of exact solutions for ordinary differential equations | vydání=2 | vydavatel = Chapman &amp; Hall/CRC | místo = Boca Raton, FL | rok=2003 | isbn=1-58488-297-2 }} * {{Citace monografie | příjmení = Robinson | jméno = James C. | titul = Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors | vydavatel = Cambridge University Press | místo = Cambridge | rok=2001 | isbn=0-521-63204-8 }} </div> {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Diferenciální počet]] [[Kategorie:Rovnice]]

Návrat na stránku „Počáteční podmínky“.