Algoritmus

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 10. 6. 2015, 23:03

Algoritmus je přesný návod či postup, kterým lze vyřešit daný typ úlohy. Pojem algoritmu se nejčastěji objevuje při programování, kdy se jím myslí teoretický princip řešení problému (oproti přesnému zápisu v konkrétním programovacím jazyce). Obecně se ale algoritmus může objevit v jakémkoli jiném vědeckém odvětví. Jako jistý druh algoritmu se může chápat i např. kuchyňský recept. V užším smyslu se slovem algoritmus rozumí pouze takové postupy, které splňují některé silnější požadavky:

Vlastnosti algoritmů

Konečnost (finitnost) 

Každý algoritmus musí skončit v konečném počtu kroků. Tento počet kroků může být libovolně velký (podle rozsahu a hodnot vstupních údajů), ale pro každý jednotlivý vstup musí být konečný. Postupy, které tuto podmínku nesplňují, se mohou nazývat výpočetní metody. Speciálním příkladem nekonečné výpočetní metody je reaktivní proces, který průběžně reaguje s okolním prostředím. Někteří autoři však mezi algoritmy zahrnují i takovéto postupy.

Obecnost (hromadnost, masovost, univerzálnost) 

Algoritmus neřeší jeden konkrétní problém (např. „jak spočítat 3×7“), ale obecnou třídu obdobných problémů (např. „jak spočítat součin dvou celých čísel“), má širokou množinu možných vstupů.

Determinovanost 

Každý krok algoritmu musí být jednoznačně a přesně definován; v každé situaci musí být naprosto zřejmé, co a jak se má provést, jak má provádění algoritmu pokračovat, takže pro stejné vstupy dostaneme pokaždé stejné výsledky. Protože běžný jazyk obvykle neposkytuje naprostou přesnost a jednoznačnost vyjadřování, byly pro zápis algoritmů navrženy programovací jazyky, ve kterých má každý příkaz jasně definovaný význam. Vyjádření výpočetní metody v programovacím jazyce se nazývá program. Některé algoritmy ale determinované nejsou, pravděpodobnostní algoritmy v sobě mají zahrnutu náhodu.

Výstup (resultativnost) 

Algoritmus má alespoň jeden výstup, veličinu, která je v požadovaném vztahu k zadaným vstupům, a tím tvoří odpověď na problém, který algoritmus řeší (algoritmus vede od zpracování hodnot k výstupu)

Elementárnost 

Algoritmus se skládá z konečného počtu jednoduchých (elementárních) kroků.

V praxi jsou proto předmětem zájmu hlavně takové algoritmy, které jsou v nějakém smyslu kvalitní. Takové algoritmy splňují různá kritéria, měřená např. počtem kroků potřebných pro běh algoritmu, jednoduchost, efektivitu či eleganci. Problematikou efektivity algoritmů, tzn. metodami, jak z několika známých algoritmů řešících konkrétní problém vybrat ten nejlepší, se zabývají odvětví informatiky nazývané algoritmická analýza a teorie složitosti.

Metody návrhu

Algoritmus se navrhuje několika možnými způsoby:

• Shora dolů – postup řešení rozkládáme na jednodušší operace, až dospějeme k elementárním krokům.
• Zdola nahoru – z elementárních kroků vytváříme prostředky, které nakonec umožní zvládnout požadovaný problém.
• Kombinace obou – obvyklý postup shora dolů doplníme "částečným krokem" zdola nahoru tím, že se například použijí knihovny funkcí, vyšší programovací jazyk nebo systém pro vytváření programů (CASE).

Nejužívanější metody návrhů algoritmů jsou následující:

Rozděl a panuj

Klasický případ aplikace postupu odshora dolů. Algoritmy typu rozděl a panuj dělí problém na menší podproblémy, na něž se rekurzivně aplikují (až po triviální podproblémy, které lze vyřešit přímo), po čemž se dílčí řešení vhodným způsobem sloučí. Zpracovává se množina V složená z n údajů. Tato množinu se rozdělí na k disjunktních podmnožin, které se zpracují každá zvlášť. Získané dílčí výsledky se pak spojíme odvodí se z nich řešení pro celou množinu V. Klasickým případem je binární vyhledávání, nebo quicksort.

Hladový algoritmus

Velice přímočarý přístup k řešení určité třídy optimalizačních úloh. Zpracovává se množinu V složená z n údajů. Úkolem je najít podmnožinu W množiny V, která vyhovuje určitým podmínkám a přitom optimalizuje předepsanou účelovou funkci. Jakákoliv množina W, vyhovující daným podmínkám, se nazývá přípustné řešení. Přípustné řešení, pro které nabývá účelová funkce optimální hodnoty, se nazývá optimální řešení. Hladový algoritmus se skládá z kroků, které budou procházet jednotlivé prvky z V, a v každém kroku rozhodne, zda se daný prvek hodí do optimálního řešení. Prvky V bude vybírat v pořadí určeném jistou výběrovou procedurou. Výběrová procedura bude založená na nějaké optimalizační míře – funkci, která může být odvozena od účelové funkce. V každém kroku ale musíme dostat přípustné řešení. Jakmile je učiněno takové rozhodnutí, už není dále revidováno. Příkladem je třeba hledání nejkratší cesty grafu.

Dynamické programování

Dynamické programování funguje obdobně jako hladový algoritmus, ale negeneruje se pouze jedna posloupnost. Zkoumají se všechny posloupnosti, které by mohly být optimální a vylučují se ty, které optimální nebudou. Používají se dílčí výsledky, které byly získané již dříve během výpočtu. Nejjednodušší a nejméně účinnou je metoda hrubé síly – vygenerují se všechny možné posloupnosti a pak se vybere ta nejlepší. Za pomoci dynamického programování se automaticky negenerují ty možnosti, které určitě nejsou optimální.
Opírá se o princip optimality: Optimální posloupnost rozhodnutí má tu vlastnost, že ať je počáteční stav a rozhodnutí jakékoliv, musí být všechna následující rozhodnutí optimální vzhledem k výsledkům rozhodnutí prvního. Typickým příkladem využití dynamického programování jsou grafové úlohy a a jejich příslušné grafové algoritmy.

Hledání s návratem (backtracking)

Hledání s návratem založené na prohledávání stavového stromu problému. Též se nazývá metoda pokusů a oprav, metoda zpětného sledování, metoda prohledávání do hloubky. Metodu je možné použít v případě, že řešením je vektor (x₁,...,x_n) jehož jednotlivé složky vybíráme z množiny S_i, x_i∈S_i. Zpravidla je třeba najít n-tici, která optimalizuje nějakou účelovou funkci P(x₁,...,x_n). Můžou se ale také hledat všechny n-tice, které tuto podmínku splňují. Metoda vytváří n-tice jednu složku po druhé. Přitom používá účelovou funkci (nebo nějakou vhodnou pomocnou funkci) a pro každou nově vytvořenou složku testuje, zda by taková n-tice vůbec mohla být optimální nebo splňovat dané podmínky. Jestliže pro nějaké x_i žádaný vektor (x₁,...,x_i) nemůže být optimální, není třeba už žádný takový vektor testovat a vezmeme další možnou hodnotu i-té složky. Pokud jsou vyčerpány všechny hodnoty i-té složky, vrátí se metoda zpět o jeden krok a zkouší další možnou hodnotu x_i-1. Příkladem je třeba problém osmi dam, nebo chůze koně celou šachovnicí.

Algoritmická složitost

Je třeba poznamenat, že abstraktní kritérium konečnosti je pro praktické použití ještě příliš slabé. V praxi je třeba zajistit, aby algoritmus skončil „v rozumném“ čase. Za rozumný čas lze v praxi považovat takový čas, který nám umožní smysluplně využít výsledek. Např. existuje jednoduchý algoritmus, který dokáže určit, zda v dané šachové pozici může hráč na tahu vynutit vítězství a zároveň dokáže určit nejlepší možný tah. Tento algoritmus se však nedá použít, protože by na svou činnost potřeboval ohromné množství času, jakkoli je toto množství konečné. Mimoto by takový algoritmus spotřeboval ohromné množství paměti, což je další praktický zřetel, který se uplatňuje při volbě algoritmu. I když průměrná počítačová paměť stále narůstá, pro některé algoritmy jí nebude nikdy dost. Pro vyčíslení výpočetní složitosti algoritmů v závislosti na velikosti vstupních dat se používá asymptotický zápis závislosti výpočetního času na rozsahu úlohy (typicky na počtu vstupních údajů). Například O(log N) znamená, že počet kroků algoritmu závisí logaritmicky na velikosti vstupních dat. Pokud u takového algoritmu zdvojnásobíme rozsah vstupních údajů, doba výpočtu se zvýší o jednu jednotku času, pokud bude vstupních dat čtyřikrát více, doba výpočtu se prodlouží o dvě jednotky času, a tak dále. To je třeba případ nalezení jednoho prvku o určité hodnotě v seznamu prvků seřazeném podle hodnoty (např. nalezení jména v telefonním seznamu).

Druhy algoritmů

Algoritmy můžeme klasifikovat různými způsoby. Mezi důležité druhy algoritmů patří:

• Rekurzivní algoritmy, které využívají (volají) samy sebe.
• Pravděpodobnostní algoritmy (někdy též probabilistické) provádějí některá rozhodnutí náhodně či pseudonáhodně.
• V případě, že máme k dispozici více počítačů, můžeme úlohu mezi ně rozdělit, což nám umožní ji vyřešit rychleji; tomuto cíli se věnují paralelní algoritmy.
• Genetické algoritmy pracují na základě napodobování biologických evolučních procesů, postupným „pěstováním“ nejlepších řešení pomocí mutací a křížení. V genetickém programování se tento postup aplikuje přímo na algoritmy (resp. programy), které jsou zde chápány jako možná řešení daného problému.
• Heuristický algoritmus si za cíl neklade nalézt přesné řešení, ale pouze nějaké vhodné přiblížení; používá se v situacích, kdy dostupné zdroje (např. čas) nepostačují na využití exaktních algoritmů (nebo pokud nejsou žádné vhodné exaktní algoritmy vůbec známy).

Přitom jeden algoritmus může patřit zároveň do více skupin; například může být zároveň rekurzivní a genetický.

Některé známé algoritmy

• Eratosthenovo síto
• Euklidův algoritmus
• Algoritmus de Casteljau
• Dijkstrův algoritmus
• Bellman-Fordův algoritmus

Etymologie

Slovo algoritmus pochází ze jména významného perského matematika žijícího v první polovině 9. století (cca 780–840), kterým byl Abū ʻAbd Allāh Muhammad ibn Mūsā al-Chwārizmī (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي) (doslova „Otec Abdulláha, Mohameda, syn Mojžíšův, pocházející z města Chwārizm (Chórézm)“; tento kraj se nachází jižně od Aralského moře). Tento učenec ve svém díle prakticky vytvořil systém arabských číslic a základy algebry (konkrétně metody řešení lineárních a kvadratických rovnic), jejíž název pochází přímo z titulu tohoto díla (Kitūb al-jabr waāl-muqūbala). Jeho jméno bylo do latiny převedeno jako algorismus, a původně znamenalo „provádění aritmetiky pomocí arabských číslic“; abacisté počítali pomocí abaku, algoristé pomocí algorismů. Postupem času se kvůli neznalosti původu slova jeho podoba měnila, záměnou arabského kořene s kořenem řeckého slova αριθμός (arithmos) se z algorismu stal algorithmus. (Později bylo v některých jazycích včetně češtiny th změněno na t, v katalánštině se vrátilo s.) Toto slovo se používalo jako označení různých matematických postupů, např. v 18. století označoval latinský termín algorithmus infitesimalis „metodu výpočtů s využitím nekonečně malých veličin, vynalezenou Leibnizem“. Slovo algoritmus v dnešním významu se používá až zhruba od 20. století.

Reference

1. heslo Algorithmus. Ottův slovník naučný I, p. 857
2. Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming, Vol 1–3, Addison Wesley 1998. ISBN 0-201-48541-9. Klasické dílo oboru, definitivní příručka.
3. Gaston H. Gonnet, Ricardo Baeza-Yates: Zdrojové texty programů v Handbook of Algorithms and Data Structures.
4. Dictionary of Algorithms and Data Structures. „Slovník algoritmů, technik, datových struktur, typických problémů a příslušných definic.“