Moment hybnosti

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 15:27

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje rotační pohyb tělesa. Moment hybnosti se určuje vzhledem k bodu nebo ose. Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost.

Značení

Symbol veličiny: \(\mathbf{L}\) , někdy také b (vektor)
Základní jednotka SI: kilogram krát metr na druhou za sekundu, značka jednotky: kg.m².s^-1

Výpočet

Moment hybnosti (L), moment síly (τ=M), a hybnost(p).

Moment hybnosti \(\mathbf{L}\) je určen vektorovým součinem jako

\(\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}\),

kde \(\mathbf{r}\) je polohový vektor a \(\mathbf{p}\) je hybnost.

Vztah k momentu síly

Vyjdeme-li ze vztahu \(\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}\) pro moment síly, pak lze provést následující úpravu

\(\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right) + \left(\mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\times m\mathbf{v}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\),

kde \(\mathbf{r}\) je polohový vektor, \(\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\) je rychlost, \(m\) je hmotnost tělesa (hmotného bodu) pohybujícího se po kruhové dráze, \(\mathbf{M}\) je moment síly a \(\mathbf{L}\) je moment hybnosti, přičemž bylo využito skutečnosti, že vektorový součin \(\mathbf{v}\times m\mathbf{v}\) je roven nule (tj. můžeme tento výraz k rovnici bez obav přičíst - to je ten výraz \(\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right)\)). Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k pevnému bodu \(O\) je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí. V soustavě hmotných bodů platí pro \(i\)-tý hmotný bod podle vztah \(\mathbf{M}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}\). Z vlastností momentu síly pak plyne

\(\mathbf{M} = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\),

kde \(\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i\) představuje celkový moment hybnosti.

Vztah k plošné rychlosti

S využitím druhého Keplerova zákona lze vyjádřit vztah mezi plošnou rychlostí \(\mathbf{w}\) a momentem hybnosti jako

\(\mathbf{L} = 2m\mathbf{w}\)

Vztah k mometu setrvačnosti

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako \(\mathbf{v} = \mathbf{\omega}\times\mathbf{r}\). Moment hybnosti soustavy \(n\) hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem

\(\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \left[\mathbf{r}_i\times m_i(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i)\right]\)

kde \(\mathbf{r}_i\) označuje polohu \(i\)-tého hmotného bodu s hmotností \(m_i\) vzhledem k těžišti a \(\mathbf{\omega}\) je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm. Použitím dvojitého vektorového součinu dostaneme

\(\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i\left[r_i^2\mathbf{\omega} - (\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)\mathbf{r}_i\right]\)

Točivost tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Točivost tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti \(\mathbf{\omega}\) vhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako \(\omega_x, \omega_y, \omega_z\) a složky průvodiče \(\mathbf{r}_i\) jako \(x_i, y_i, z_i\), můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vajádření momentu setrvačnosti \(J\) pak lze získat

\(L_x = \omega_x J_x - \omega_y D_{xy} - \omega_z D_{zx}\)

\(L_y = \omega_y J_y - \omega_z D_{yz} - \omega_x D_{xy}\)

\(L_z = \omega_z J_z - \omega_x D_{zx} - \omega_y D_{yz}\)

kde \(J_i\) jsou momenty setrvačnosti k \(i\)-té ose a \(D_{ij}\) jsou deviační momenty. Pokud vztáhneme složky točivosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky točivosti vzhledem k hlavním osám budou

\(L_1 = J_1 \omega_1\)

\(L_2 = J_2 \omega_2\)

\(L_3 = J_3 \omega_3\)

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a točivost lze zapsat jako

\(\mathbf{L} = J\mathbf{\omega}\)

Rotační impuls

Pro časový účinek momentu síly můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro rotační impuls \(\mathbf{b}\)

\(\mathbf{L} - \mathbf{L}_0 = \int_{t_0}^t \mathbf{M}\mathrm{d}t = \mathbf{b}\)

Pokud je silový moment \(\mathbf{M}\) po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar

\(\mathbf{L}-\mathbf{L}_0 = \mathbf{M}(t-t_0)\)

Vlastnosti

Moment hybnosti má při rotačním pohybu stejný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Pojem momentu hybnosti je analogický pojmu hybnosti: tak jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

Součet momentů hybnosti vnitřních sil

Součet momentů hybnosti vnitřních sil v tuhém tělese je roven nule, protože: 1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice) 2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou Uvažme tedy vzoreček pro moment sil: \(\mathbf{M}_i\) je moment hybnosti \(i\)-tého bodu. Mezi \(i\)-tým a \(j\)-tým bodem působí síla \(\mathbf{F}_{i,j}=-\mathbf{F}_{j,i}\). Celkový moment hybnosti vnitřních sil je \(\sum \mathbf{M}_i=\sum_i \mathbf{r}_i \times \sum_j \mathbf{F}_{i,j}=\sum_i \sum_j \mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_{i,j}\). Uvažujme nyní pouze interakci \(i\)-tého a \(j\)-tého bodu: \(\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}+\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{j,i}=\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}-\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{i,j}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j) \times \mathbf{F}_{i,j}\), kde \(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\) je spojnice \(i\)-tého a \(j\)-tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

Moment hybnosti v kvantové mechanice

V kvantové mechanice je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti (impulsmomentu) můžou být pouze násobky redukované Planckovy konstanty. Kvantován je i kvadrát momentu hybnosti. Zcela novou vlastností je spin částic, vnitřní moment hybnosti určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot. Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z principu korespondence, kvantový impulsmoment je tedy definován takto: \(\mathbf{\hat{L}}=\mathbf{\hat{r}} \times {\hat{p}}\) Z komutačních relací pro souřadnici a impuls \([\hat{X}_k,\hat{P}_l]=i \hbar \delta_{kl}\) lze odvodit komutační relace pro impulsmoment: \([\hat{L}_k,\hat{L}_l]=i \hbar \varepsilon_{kln}\hat{L}_n\) Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí: \(\mathbf{\hat{L}^2}|lm\rangle=\hbar^2 l(l+1)|lm\rangle\) \(\hat{L}_3|lm\rangle=\hbar m |lm\rangle\) Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 Moment hybnosti bývá také označován jako '''kinetický moment''', '''impulsmoment''' nebo '''točivost'''.
 == Značení ==
-* Symbol veličiny: <math>\mathbf{L}</math> , někdy také b (vektor)
+* Symbol veličiny: <big>\(\mathbf{L}\)</big> , někdy také b (vektor)
 * Základní [[Fyzikální jednotka|jednotka]] [[soustava SI|SI]]: [[kilogram]] krát [[metr]] na druhou za [[sekunda|sekundu]], značka jednotky: ''kg.m<sup>2</sup>.s<sup>-1</sup>''
 == Výpočet ==
 [[Soubor:Torque_animation.gif|frame|right|Moment hybnosti (L), moment síly (τ=M), a hybnost(p).]]
-Moment hybnosti <math>\mathbf{L}</math> je určen [[vektorový součin|vektorovým součinem]] jako
+Moment hybnosti <big>\(\mathbf{L}\)</big> je určen [[vektorový součin|vektorovým součinem]] jako
-:<math>\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}</math>,
+:<big>\(\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}\)</big>,
-kde <math>\mathbf{r}</math> je [[polohový vektor]] a <math>\mathbf{p}</math> je [[hybnost]].
+kde <big>\(\mathbf{r}\)</big> je [[polohový vektor]] a <big>\(\mathbf{p}\)</big> je [[hybnost]].
 === Vztah k momentu síly ===
-Vyjdeme-li ze vztahu <math>\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}</math> pro [[moment síly]], pak lze provést následující úpravu
+Vyjdeme-li ze vztahu <big>\(\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}\)</big> pro [[moment síly]], pak lze provést následující úpravu
-:<math>\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right) + \left(\mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\times m\mathbf{v}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}</math>,
+:<big>\(\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right) + \left(\mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\times m\mathbf{v}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\)</big>,
-kde <math>\mathbf{r}</math> je [[polohový vektor]], <math>\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}</math> je [[rychlost]], <math>m</math> je [[hmotnost]] tělesa ([[hmotný bod|hmotného bodu]]) pohybujícího se po [[kruhový pohyb|kruhové dráze]], <math>\mathbf{M}</math> je [[moment síly]] a <math>\mathbf{L}</math> je moment hybnosti, přičemž bylo využito skutečnosti, že [[vektorový součin]] <math>\mathbf{v}\times m\mathbf{v}</math> je roven [[nula|nule]] (tj. můžeme tento výraz k rovnici bez obav přičíst - to je ten výraz &nbsp; <math>\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right)</math>).
+kde <big>\(\mathbf{r}\)</big> je [[polohový vektor]], <big>\(\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\)</big> je [[rychlost]], <big>\(m\)</big> je [[hmotnost]] tělesa ([[hmotný bod|hmotného bodu]]) pohybujícího se po [[kruhový pohyb|kruhové dráze]], <big>\(\mathbf{M}\)</big> je [[moment síly]] a <big>\(\mathbf{L}\)</big> je moment hybnosti, přičemž bylo využito skutečnosti, že [[vektorový součin]] <big>\(\mathbf{v}\times m\mathbf{v}\)</big> je roven [[nula|nule]] (tj. můžeme tento výraz k rovnici bez obav přičíst - to je ten výraz &nbsp; <big>\(\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right)\)</big>).
-Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k pevnému bodu <math>O</math> je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.
+Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k pevnému bodu <big>\(O\)</big> je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.
-V [[soustava hmotných bodů|soustavě hmotných bodů]] platí pro <math>i</math>-tý hmotný bod podle vztah <math>\mathbf{M}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}</math>. Z vlastností momentu síly pak plyne
+V [[soustava hmotných bodů|soustavě hmotných bodů]] platí pro <big>\(i\)</big>-tý hmotný bod podle vztah <big>\(\mathbf{M}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}\)</big>. Z vlastností momentu síly pak plyne
-:<math>\mathbf{M} = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}</math>,
+:<big>\(\mathbf{M} = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\)</big>,
-kde <math>\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i</math> představuje celkový moment hybnosti.
+kde <big>\(\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i\)</big> představuje celkový moment hybnosti.
 === Vztah k plošné rychlosti ===
-S využitím [[Keplerovy zákony|druhého Keplerova zákona]] lze vyjádřit vztah mezi [[plošná rychlost|plošnou rychlostí]] <math>\mathbf{w}</math> a momentem hybnosti jako
+S využitím [[Keplerovy zákony|druhého Keplerova zákona]] lze vyjádřit vztah mezi [[plošná rychlost|plošnou rychlostí]] <big>\(\mathbf{w}\)</big> a momentem hybnosti jako
-:<math>\mathbf{L} = 2m\mathbf{w}</math>
+:<big>\(\mathbf{L} = 2m\mathbf{w}\)</big>
 === Vztah k mometu setrvačnosti ===
-Při [[kruhový pohyb|kruhovém pohybu]] lze [[rychlost]] vyjádřit jako <math>\mathbf{v} = \mathbf{\omega}\times\mathbf{r}</math>. Moment hybnosti [[soustava hmotných bodů|soustavy]] <math>n</math> [[hmotný bod|hmotných bodů]] vzhledem k [[těžiště|těžišti]] lze pak vyjádřit vztahem
+Při [[kruhový pohyb|kruhovém pohybu]] lze [[rychlost]] vyjádřit jako <big>\(\mathbf{v} = \mathbf{\omega}\times\mathbf{r}\)</big>. Moment hybnosti [[soustava hmotných bodů|soustavy]] <big>\(n\)</big> [[hmotný bod|hmotných bodů]] vzhledem k [[těžiště|těžišti]] lze pak vyjádřit vztahem
-:<math>\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \left[\mathbf{r}_i\times m_i(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i)\right]</math>
+:<big>\(\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \left[\mathbf{r}_i\times m_i(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i)\right]\)</big>
-kde <math>\mathbf{r}_i</math> označuje [[poloha bodu|polohu]] <math>i</math>-tého hmotného bodu s [[hmotnost]]í <math>m_i</math> vzhledem k těžišti a <math>\mathbf{\omega}</math> je [[úhlová rychlost]] pohybu tělesa kolem [[osa rotace|osy rotace]] jdoucí těžištěm.
+kde <big>\(\mathbf{r}_i\)</big> označuje [[poloha bodu|polohu]] <big>\(i\)</big>-tého hmotného bodu s [[hmotnost]]í <big>\(m_i\)</big> vzhledem k těžišti a <big>\(\mathbf{\omega}\)</big> je [[úhlová rychlost]] pohybu tělesa kolem [[osa rotace|osy rotace]] jdoucí těžištěm.
 Použitím [[dvojitý vektorový součin|dvojitého vektorového součinu]] dostaneme
-:<math>\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i\left[r_i^2\mathbf{\omega} - (\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)\mathbf{r}_i\right]</math>
+:<big>\(\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i\left[r_i^2\mathbf{\omega} - (\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)\mathbf{r}_i\right]\)</big>
-Točivost tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Točivost tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti <math>\mathbf{\omega}</math> vhledem k libovolné [[soustava souřadnic|soustavě souřadnic]] s [[počátek|počátkem]] v těžišti a pevně spojené s tělesem jako <math>\omega_x, \omega_y, \omega_z</math> a složky [[průvodič]]e <math>\mathbf{r}_i</math> jako <math>x_i, y_i, z_i</math>, můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vajádření [[moment setrvačnosti|momentu setrvačnosti]] <math>J</math> pak lze získat
+Točivost tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Točivost tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti <big>\(\mathbf{\omega}\)</big> vhledem k libovolné [[soustava souřadnic|soustavě souřadnic]] s [[počátek|počátkem]] v těžišti a pevně spojené s tělesem jako <big>\(\omega_x, \omega_y, \omega_z\)</big> a složky [[průvodič]]e <big>\(\mathbf{r}_i\)</big> jako <big>\(x_i, y_i, z_i\)</big>, můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vajádření [[moment setrvačnosti|momentu setrvačnosti]] <big>\(J\)</big> pak lze získat
-:<math>L_x = \omega_x J_x - \omega_y D_{xy} - \omega_z D_{zx}</math>
+:<big>\(L_x = \omega_x J_x - \omega_y D_{xy} - \omega_z D_{zx}\)</big>
-:<math>L_y = \omega_y J_y - \omega_z D_{yz} - \omega_x D_{xy}</math>
+:<big>\(L_y = \omega_y J_y - \omega_z D_{yz} - \omega_x D_{xy}\)</big>
-:<math>L_z = \omega_z J_z - \omega_x D_{zx} - \omega_y D_{yz}</math>
+:<big>\(L_z = \omega_z J_z - \omega_x D_{zx} - \omega_y D_{yz}\)</big>
-kde <math>J_i</math> jsou momenty setrvačnosti k <math>i</math>-té ose a <math>D_{ij}</math> jsou [[deviační moment]]y.
+kde <big>\(J_i\)</big> jsou momenty setrvačnosti k <big>\(i\)</big>-té ose a <big>\(D_{ij}\)</big> jsou [[deviační moment]]y.
 Pokud vztáhneme složky točivosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního [[elipsoid setrvačnosti|elipsoidu setrvačnosti]], deviační momenty vymizí, a složky točivosti vzhledem k hlavním osám budou
-:<math>L_1 = J_1 \omega_1</math>
+:<big>\(L_1 = J_1 \omega_1\)</big>
-:<math>L_2 = J_2 \omega_2</math>
+:<big>\(L_2 = J_2 \omega_2\)</big>
-:<math>L_3 = J_3 \omega_3</math>
+:<big>\(L_3 = J_3 \omega_3\)</big>
 Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky [[úhlová rychlost|úhlové rychlosti]] k osám [[kolmost|kolmým]] k [[rotační osa|rotační ose]] [[nula|nulové]] a točivost lze zapsat jako
-:<math>\mathbf{L} = J\mathbf{\omega}</math>
+:<big>\(\mathbf{L} = J\mathbf{\omega}\)</big>
 === Rotační impuls ===
-Pro [[čas|časový]] účinek momentu síly můžeme v analogii s [[impuls síly|impulsem síly]] získat vztah pro '''rotační impuls''' <math>\mathbf{b}</math>
+Pro [[čas|časový]] účinek momentu síly můžeme v analogii s [[impuls síly|impulsem síly]] získat vztah pro '''rotační impuls''' <big>\(\mathbf{b}\)</big>
-:<math>\mathbf{L} - \mathbf{L}_0 = \int_{t_0}^t \mathbf{M}\mathrm{d}t = \mathbf{b}</math>
+:<big>\(\mathbf{L} - \mathbf{L}_0 = \int_{t_0}^t \mathbf{M}\mathrm{d}t = \mathbf{b}\)</big>
-Pokud je silový moment <math>\mathbf{M}</math> po celou dobu působení [[konstanta|stálý]], je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar
+Pokud je silový moment <big>\(\mathbf{M}\)</big> po celou dobu působení [[konstanta|stálý]], je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar
-:<math>\mathbf{L}-\mathbf{L}_0 = \mathbf{M}(t-t_0)</math>
+:<big>\(\mathbf{L}-\mathbf{L}_0 = \mathbf{M}(t-t_0)\)</big>
 == Vlastnosti ==
 Moment hybnosti má při [[rotační pohyb|rotačním pohybu]] stejný význam jako [[hybnost]] při [[přímočarý pohyb|pohybu přímočarém]].
@@ Řádka 53: / Řádka 53: @@
 . Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou
 Uvažme tedy vzoreček pro moment sil:
-<math>\mathbf{M}_i</math> je moment hybnosti <math>i</math>-tého bodu. Mezi <math>i</math>-tým a <math>j</math>-tým bodem působí síla <math>\mathbf{F}_{i,j}=-\mathbf{F}_{j,i}</math>. Celkový moment hybnosti vnitřních sil je <math>\sum \mathbf{M}_i=\sum_i \mathbf{r}_i \times \sum_j \mathbf{F}_{i,j}=\sum_i \sum_j \mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_{i,j}</math>. Uvažujme nyní pouze interakci <math>i</math>-tého a <math>j</math>-tého bodu:
+<big>\(\mathbf{M}_i\)</big> je moment hybnosti <big>\(i\)</big>-tého bodu. Mezi <big>\(i\)</big>-tým a <big>\(j\)</big>-tým bodem působí síla <big>\(\mathbf{F}_{i,j}=-\mathbf{F}_{j,i}\)</big>. Celkový moment hybnosti vnitřních sil je <big>\(\sum \mathbf{M}_i=\sum_i \mathbf{r}_i \times \sum_j \mathbf{F}_{i,j}=\sum_i \sum_j \mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_{i,j}\)</big>. Uvažujme nyní pouze interakci <big>\(i\)</big>-tého a <big>\(j\)</big>-tého bodu:
-<math>\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}+\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{j,i}=\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}-\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{i,j}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j) \times \mathbf{F}_{i,j}</math>,
+<big>\(\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}+\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{j,i}=\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}-\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{i,j}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j) \times \mathbf{F}_{i,j}\)</big>,
-kde <math>\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j</math> je spojnice <math>i</math>-tého a <math>j</math>-tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, [[vektorový součin]] rovnoběžných vektorů je roven nule.
+kde <big>\(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\)</big> je spojnice <big>\(i\)</big>-tého a <big>\(j\)</big>-tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, [[vektorový součin]] rovnoběžných vektorů je roven nule.
 == Moment hybnosti v kvantové mechanice ==
 V [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]] je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti ([[impulsmoment]]u) můžou být pouze násobky redukované [[Planckova konstanta|Planckovy konstanty]]. Kvantován je i [[kvadrát]] [[moment hybnosti|momentu hybnosti]].
 Zcela novou vlastností je [[spin]] částic, [[vnitřní moment hybnosti]] určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot.
 Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z [[princip korespondence|principu korespondence]], kvantový impulsmoment je tedy definován takto:
-<math>\bold{\hat{L}}=\bold{\hat{r}} \times {\hat{p}}</math>
+<big>\(\mathbf{\hat{L}}=\mathbf{\hat{r}} \times {\hat{p}}\)</big>
-Z [[komutační relace|komutačních relací]] pro [[souřadnice|souřadnici]] a [[impuls]] <math>[\hat{X}_k,\hat{P}_l]=i \hbar \delta_{kl}</math> lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:
+Z [[komutační relace|komutačních relací]] pro [[souřadnice|souřadnici]] a [[impuls]] <big>\([\hat{X}_k,\hat{P}_l]=i \hbar \delta_{kl}\)</big> lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:
-<math>[\hat{L}_k,\hat{L}_l]=i \hbar \varepsilon_{kln}\hat{L}_n</math>
+<big>\([\hat{L}_k,\hat{L}_l]=i \hbar \varepsilon_{kln}\hat{L}_n\)</big>
 Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí:
-<math>\bold{\hat{L}^2}|lm\rangle=\hbar^2 l(l+1)|lm\rangle</math>
+<big>\(\mathbf{\hat{L}^2}|lm\rangle=\hbar^2 l(l+1)|lm\rangle\)</big>
-<math>\hat{L}_3|lm\rangle=\hbar m |lm\rangle</math>
+<big>\(\hat{L}_3|lm\rangle=\hbar m |lm\rangle\)</big>
 Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.